Чем я занимаюсь

[posic]

В одном из деловых писем, полученных мною в последние месяцы, к слову высказывалось сожаление, что автору письма так и не удалось понять, чем я занимаюсь.

Независимо от этого, мне нередко сообщают в ЖЖ, что я должен уметь объяснить, чем я занимаюсь, ребенку какого-то там возраста, а иначе я шарлатан. Возраст ребенка, насколько я мог понять, берется из художественной литературы и преломляется далее в фольклоре.

Я могу объяснить, чем я занимаюсь, ребенку тринадцати с половиной летнего возраста, в лице самого себя в этом возрасте (впрочем, думаю, я нашел бы какой-то смутный смысл в этом объяснении и лет в восемь). Вот это объяснение.

Я занимаюсь некоммутативными алгебрами с квадратичными соотношениями, т.е. чем-то типа

xy + 2yx = z²
yz + 2zy = x²
zx + 2xz = y²

Пример условный; квадратичные алгебры устроены непросто, и я на самом деле ничего не знаю про конкретные соотношения выше, которые только что взял примерно оттуда же, откуда те мои критики берут свой возраст ребенка.

Дальше эти соотношения деформируются, т.е. к уравнениям добавляются какие-то новые члены. Тут есть три пути.

Можно ограничиться однородными квадратичными соотношениями, т.е. только с членами степени 2 (по переменным x, y, z, ...). Эта деятельность ведет в теорию вероятностей и на этом (в моем исполнении) заканчивается, поскольку вероятности совсем уж далеки от моих интуиций.

Можно добавлять к квадратичным соотношениям линейные и скалярные члены (т.е. степени 1 и 0). Эта деятельность ведет в экзотические производные категории и к полубесконечным когомологиям.

Наконец, можно добавлять члены степени 3, 4, 5, ... до бесконечности. Эта деятельность связана с когомологиями Галуа и ведет в теорию мотивов.

Comments

[penguinny.livejournal.com]

Что-то мне подсказывает, что вот теперь-то уж ваши критики точно убедятся в том, что вы шарлатан.
Потому что такие простые уравнения, как им кажется, они и сами написать могут, причём решительно не видя в них никакой пользы.

[posic.livejournal.com]

Постинг написан не для этих критиков, которые в моих глазах безнадежны и могут думать про меня все, что им заблагорассудится. В той мере, в которой в нем можно усмотреть полемику с этими критиками, она адресована не им самим, а более нейтральным наблюдателям, которым в самом деле что-то интересно про математиков.

Постинг написан, прежде всего, для автора делового письма, упомянутого в первом абзаце, и других людей с хотя бы минимальным математическим бекграундом, которым интересно было бы как-то уложить в голове разнообразные математические сюжеты, про которые я в разное время пишу в своих постингах.

[lenis2000.livejournal.com]

А можно поподробней про первый путь - что именно будет в теории вероятностей? Какой-нибудь обзор почитать, например...

[posic.livejournal.com]

Будут 1-зависимые случайные последовательности нулей и единиц, one-dependent zero-one sequences. Об этом написано в нашей книжке Quadratic Algebras, в последней главе.

Спасибо

[gorynych-zmei.livejournal.com]

Теперь смогу следить за Вашим журналом на только с интересом, но и с ложной надеждой понять. ;-)

[almony.livejournal.com]

А ты в 13.5 лет уже знал, что такое некоммутативные алгебры?

[posic.livejournal.com]

В 13.5 лет я читал "Алгебру" ван-дер-Вардена.

[aron-turgenev.livejournal.com]

Прекрасное начало для коллоквиума. Вот, видите, Ваше Величество,Вы уже торгуетесь (ц), т.е. об'ясняете.

[posic.livejournal.com]

Есть мнение (см. выше), что я ничего не теряю, поскольку другая сторона все равно отвергнет сделку (скажет, что я объясняю не то, что они хотят услышать).

[elisapeyron.livejournal.com]

"Эта деятельность связана с когомологиями Галуа и ведет в теорию мотивов."

у человека вроде меня попытка понять чем вы занимаетесь ведет только к вывиху правого полушария головного мозга :)

но мне нравиться как это звучит! "некоммутативные алгебры с квадратичными соотношениями" мммм...
эх, даже жаль что я уже замужем :)

(в попытке вернуть обратно вывих)

[posic.livejournal.com]

Слово "мотив" здесь происходит не из юриспруденции или психологии (мотив поступка), а из искусства (музыкальный мотив). Теория мотивов -- раздел алгебраической геометрии. Гротендик придумал, что у каждого алгебраического многообразия должен быть "мотив".

[gr-s.livejournal.com]

Мне страшно неудобно задавать такой глупый вопрос, но разве xy + 2yx не есть 3 xy (или, что то же, 3yx)?

[posic.livejournal.com]

Я специально написал формулы так, чтобы еще раз подчеркнуть, что алгебра некоммутативная (с некоммутативным умножением). Так вот, переменные не коммутируют, т.е. xy не равно yx. Представьте себе, что x и y -- это матрицы (какого-то фиксированного размера, скажем, 5x5). Произведение матриц зависит от порядка сомножителей.

[gaz-v-pol.livejournal.com]

Я не понял, а что эти уравнения означают? Казалось бы, единственное решение это x=y=z=0. И что дальше?

[posic.livejournal.com]

Эти уравнения не предназначены для того, чтобы решать их в числах. Если уж решать их в чем-нибудь, то в чем-нибудь некоммутативном -- в кватернионах, матрицах, дифференциальных операторах... Но по правде сказать, они вообще не предназначены для того, чтобы их обязательно в чем-то решать.

Вот у тебя есть буквы x, y, z. Ты можешь составить из них 9 некоммутативных мономов (одночленов) степени 2 (они как раз все входят по одному разу в уравнения), 27 некоммутативных мономов степени 3, 81 некоммутативный моном степени 4, и т.д. Скажем, xyxz -- это один некоммутативный моном степени 4, а zxyx -- совершенно другой. Суммы таких мономов с разными числовыми коэффициентами образуют алгебру (некоммутативное кольцо) -- свободную ассоциативную алгебру с тремя образующими, или кольцо некоммутативных многочленов.

Теперь представь себе, что на наши некоммутативные многочлены наложены соотношения, которые я выписал. Тогда из них формально следуют другие соотношения. Например, xxy = x(xy) = [пользуясь первым из моих соотношений] = x(zz - 2yx) = xzz - 2xyx = (xz)z - 2(xy)x = [пользуясь третьим и первым соотношениями] = (1/2 (yy - zx))z - 2(zz - 2yx)x и т.д. Таким образом, одни мономы степени 3 можно выразить как линейные комбинации других, пользуясь соотношениями. То же относится к мономам степени 4, 5, и т.д., только там это еще сильнее запутывается.

Спрашивается, через какое минимальное число мономов степени 5 можно выразить все остальные, пользуясь этими соотношениями? Следует ли из соотношений, что x⁵ = 0? Существует ли из соотношений, что все мономы степени 10 равны нулю? И т.д.

[nikaan.livejournal.com]

Можно добавлять к квадратичным соотношениям линейные и скалярные члены (т.е. степени 1 и 0). Эта деятельность ведет в экзотические производные категории и к полубесконечным когомологиям.

А можно в этом месте чуть подробнее? такое длинное вступление и такой быстрый переход.

[posic.livejournal.com]

Можно, но тогда уровень абстрактности будет быстро повышаться, как требуемые предварительные сведения из смежных областей.

Примером некоммутативной алгебры, задаваемой квадратично-линейными соотношениями, является обертывающая алгебра алгебры Ли. Примером некоммутативной алгебры, задаваемой квадратично-скалярными соотношениями, является алгебра Клиффорда.

В обоих (и остальных подобных) случаях, встает вопрос о том, насколько поведение неоднородных соотношений управляется их однородными квадратичными частями. Для универсальных обертывающих, это называется теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта.

Для справедливости теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта нужно, чтобы линейные члены соотношений, задающих универсальную обертывающую, образовывали в самом деле структуру алгебры Ли, т.е. удовлетворяли тождеству Якоби. Можно определить аналоги тождества Якоби для произвольных неоднородных квадратичных алгебр, это такие "условия самосогласованности" соотношений. Точнее, это условия самосогласованности в степени 3.

Теорема ПБВ состоит, собственно, в том, что из самосогласованности в степени 3 следует самосогласованность в высших степенях. Это верно для широкого класса алгебр с неоднородными квадратичными соотношениями, однородные квадратичные части которых удовлетворяют гомологическому условию, которое называется "кошулевость". Квадратичные алгебры, как подкласс в градуированных алгебрах, интересны в основном тем, что в них содержится подкласс кошулевых алгебр.

Одна из эквивалентных формулировок тождества Якоби состоит в том, что дифференциал на стандартном (ко)гомологическом комплексе (Кошуля/Шевалле-Эйленберга) алгебры Ли, соответствующий данной скобке Ли, в квадрате равен нулю. Это обобщается на произвольные неоднородные квадратичные соотношения. Таким образом, категория неоднородных кошулевых алгебр оказывается антиэквивалентна категории кошулевых DG-алгебр с кривизной (кривизна отвечает скалярам в соотношениях).

Дальше встает задача продолжения этой двойственности между алгебрами до двойственности между модулями. Например, модулю над алгеброй Ли соответствует его стандартный когомологический комплекс, являющийся DG-модулем над стандартным комплексом самой алгебры Ли. Хотелось бы сделать из этого эквивалентность производных категорий модулей.

Но стандартный когомологический комплекс бывает ацикличен, даже когда модуль над алгеброй Ли ненулевой. Поэтому на DG-модулях над стандартным комплексом алгебры Ли нужно отношение эквивалентности, более тонкое, чем квазиизоморфизм. Отсюда -- производные категории второго рода (экзотические).

Теперь несколько вопросов. В вышеизложенном можно что-нибудь понять? Оно приносит пользу или удовольствие? Какого именно рода?

[relf.livejournal.com]

Вы объяснили, что вы делаете, но не объяснили зачем.

По своему опыту презентаций, могу сказать, что посторонние люди больше ценят понимание мотивации и формулировки "на пальцах" исходной задачи нежели технические детали ее решения.

[posic.livejournal.com]

Что значит "зачем"? Почему именно лично я занимаюсь именно этим? Почему я считаю важными эти вопросы? Какую пользу это обещает принести аналитикам, геометрам, физикам, химикам, биологам, агрономам, и крестьянам?

И кто эти "посторонние люди"? Что они знают, что им интересно, что они ценят в жизни вообще, помимо "понимания мотивации" (какой из перечисленных выше мотиваций)?

[(Anonymous)]

Позвольте наивный вопрос. А можно ли эти алгебры, заданные соотношениями, представлять в более осязаемом виде, например, как множества матриц с обычными матричными операциями?

Я слыхал, что фраза про ребенка и шарлатана обычно цитируется не полностью. На самом деле, она звучит так: Если ученый не может объяснить восьмилетнему мальчику, чем он занимается, он, скорее всего, шарлатан; а если может - тем более.

[posic.livejournal.com]

Ну, над всякой алгеброй есть свободный модуль; а тут алгебра даже градуированная с конечномерными компонентами (неизвестной размерности, вычисление которых всех одновременно есть алгоритмически неразрешимая задача, для произвольной квадратичной алгебры...) Так что можно считать элементы алгебры бесконечными матрицами, или последовательностями конечных матриц, да. Но я не советую -- по-моему, это не поможет.

Я бы считал в общем случае оптимальным тензорный язык -- компоненты квадратичной алгебры суть факторпространства тензорных степеней фиксированного векторного пространства "образующих алгебры".

[shuffle81.livejournal.com]

а действительно ты ничего не знаешь про эти соотношения? это разве не "частный случай общего случая" алгебры Склянина, про которую если не Тейт, ван ден Берг и Стаффорд, то какой-нибудь Роланд Бергер многое выяснили?

[posic.livejournal.com]

Уже написав эти слова, я подумал о том, что это, наверное, алгебра Склянина. Но я этого не помню точно; тем более, я не понимаю, что значит "частный случай общего случая". Что выяснил Роланд Бергер (или Берже?) про алгебры Склянина, я тоже не знаю.

ваше изложение мне напомнило как

[38irtimd.livejournal.com]

на одном докладе Картье на коллоквиуме (с обтекаемым заголовком вроде «Устранение расходимостей и алгебраическая геометрия») до самых последних минут изложение было элементарным, пока чуть ли не в последнем предложении докладчик не обмолвился, что применимость некоторого трюка для регуляризации интеграла по путям зависит от некоторого смешанного тейтовского мотива.

[chaource.livejournal.com]

Я уважаю квадратичныя алгебры и вообще всякую разную математику. Налогоплательщики тутъ ни при чёмъ. Безъ математики вообще трудно жить.

[chaource.livejournal.com]

Такой вопросъ. Вотъ предположимъ возникла именно такая алгебра, xy+2yz=z^2 и т.д. Можно ли сформулировать алгоритмъ, который что-то тамъ долго будетъ вычислятъ и потомъ объяснитъ намъ структуру этой конкретной алгебры?

[posic.livejournal.com]

В общем случае -- нет, нельзя. Вплоть до любой конечной градуировки, конечно, можно все посчитать, но про всю алгебру сразу -- это алгоритмически неразрешимая задача.

Существует алгоритм, который можно запустить, и в некоторых случаях он закончит работу и после этого расскажет тебе много что про эту алгебру. Например, если алгебра конечномерна, то он закончит работу и скажет размерности ее компонент и проч. Но для некоторых бесконечномерных алгебр этот алгоритм никогда не завершится.

Наибольший интерес среди квадратичных алгебр представляют кошулевы алгебры. Для кошулевой алгебры задача проверки конечномерности, например, алгоритмически разрешима. Зато задача проверки кошулевости алгебры с явно выписанными квадратичными соотношениями -- алгоритмически неразрешима в общем случае. Тем не менее, опять же, существует алгоритм, который устанавливает кошулевость некоторых алгебр (а для других не дает ответа).

[roma.livejournal.com]

кстати, звучит так как будто ты в своей картине ставишь знак равенства между деформациями и вероятностями. Что, согласись, звучит довольно сильно!

[posic.livejournal.com]

Вероятности, конечно, описывают не деформации, а дискретные инвариантны, остающиеся неизменными при деформациях.

[akor168.livejournal.com]

Наивный вопрос, а эти теории могут как то быть приложены к разрешимости/неразрешимости общих квадратных уравнений вида:

X=F+B(X,X),

где F это фиксированный элемент, а B(*,*) билинейная операция(вообще говоря неассоциативная) в некотором банаховом пространстве. Интересует именно алгебраический аспект(например решение в виде формальных рядов).

[posic.livejournal.com]

Не знаю. Не разбираюсь в этом.