Чем я занимаюсь

[posic]

В одном из деловых писем, полученных мною в последние месяцы, к слову высказывалось сожаление, что автору письма так и не удалось понять, чем я занимаюсь.

Независимо от этого, мне нередко сообщают в ЖЖ, что я должен уметь объяснить, чем я занимаюсь, ребенку какого-то там возраста, а иначе я шарлатан. Возраст ребенка, насколько я мог понять, берется из художественной литературы и преломляется далее в фольклоре.

Я могу объяснить, чем я занимаюсь, ребенку тринадцати с половиной летнего возраста, в лице самого себя в этом возрасте (впрочем, думаю, я нашел бы какой-то смутный смысл в этом объяснении и лет в восемь). Вот это объяснение.

Я занимаюсь некоммутативными алгебрами с квадратичными соотношениями, т.е. чем-то типа

xy + 2yx = z²
yz + 2zy = x²
zx + 2xz = y²

Пример условный; квадратичные алгебры устроены непросто, и я на самом деле ничего не знаю про конкретные соотношения выше, которые только что взял примерно оттуда же, откуда те мои критики берут свой возраст ребенка.

Дальше эти соотношения деформируются, т.е. к уравнениям добавляются какие-то новые члены. Тут есть три пути.

Можно ограничиться однородными квадратичными соотношениями, т.е. только с членами степени 2 (по переменным x, y, z, ...). Эта деятельность ведет в теорию вероятностей и на этом (в моем исполнении) заканчивается, поскольку вероятности совсем уж далеки от моих интуиций.

Можно добавлять к квадратичным соотношениям линейные и скалярные члены (т.е. степени 1 и 0). Эта деятельность ведет в экзотические производные категории и к полубесконечным когомологиям.

Наконец, можно добавлять члены степени 3, 4, 5, ... до бесконечности. Эта деятельность связана с когомологиями Галуа и ведет в теорию мотивов.

Comments

[(Anonymous)]

Позвольте наивный вопрос. А можно ли эти алгебры, заданные соотношениями, представлять в более осязаемом виде, например, как множества матриц с обычными матричными операциями?

Я слыхал, что фраза про ребенка и шарлатана обычно цитируется не полностью. На самом деле, она звучит так: Если ученый не может объяснить восьмилетнему мальчику, чем он занимается, он, скорее всего, шарлатан; а если может - тем более.

[posic.livejournal.com]

Ну, над всякой алгеброй есть свободный модуль; а тут алгебра даже градуированная с конечномерными компонентами (неизвестной размерности, вычисление которых всех одновременно есть алгоритмически неразрешимая задача, для произвольной квадратичной алгебры...) Так что можно считать элементы алгебры бесконечными матрицами, или последовательностями конечных матриц, да. Но я не советую -- по-моему, это не поможет.

Я бы считал в общем случае оптимальным тензорный язык -- компоненты квадратичной алгебры суть факторпространства тензорных степеней фиксированного векторного пространства "образующих алгебры".

[(Anonymous)]

Спасибо. Мне, в общем-то, "правильный" язык не обязателен. Мне же не работать с этими алгебрами, а так - связать их как-нибудь с повседневным опытом. Например, меня очень успокаивает, что всякую группу можно рассматривать как подгруппу группы перестановок на ее элементах, а всякое (хотя тут не уверен) банахово пространство - как подпространство непрерывных функций на отрезке. Я знаю, что в обоих случаях это ничем не помогает в изучении этих объектов, но они перестают быть пугающе абстрактными.

А образуют ли алгебры, элементы которых можно считать конечными матрицами, какой-нибудь осмысленный класс? Это чистое любопытство, я не уверен, что вопрос имеет смысл.

[posic.livejournal.com]

Да, конечно -- это класс конечномерных алгебр. Применительно к конечно-порожденной градуированной алгебре, такая алгебра конечномерна, если ее градуировочные компоненты достаточно высоких степеней равны нулю. Внешняя (грассманова) алгебра, например.