Чем я занимаюсь

[posic]

В одном из деловых писем, полученных мною в последние месяцы, к слову высказывалось сожаление, что автору письма так и не удалось понять, чем я занимаюсь.

Независимо от этого, мне нередко сообщают в ЖЖ, что я должен уметь объяснить, чем я занимаюсь, ребенку какого-то там возраста, а иначе я шарлатан. Возраст ребенка, насколько я мог понять, берется из художественной литературы и преломляется далее в фольклоре.

Я могу объяснить, чем я занимаюсь, ребенку тринадцати с половиной летнего возраста, в лице самого себя в этом возрасте (впрочем, думаю, я нашел бы какой-то смутный смысл в этом объяснении и лет в восемь). Вот это объяснение.

Я занимаюсь некоммутативными алгебрами с квадратичными соотношениями, т.е. чем-то типа

xy + 2yx = z²
yz + 2zy = x²
zx + 2xz = y²

Пример условный; квадратичные алгебры устроены непросто, и я на самом деле ничего не знаю про конкретные соотношения выше, которые только что взял примерно оттуда же, откуда те мои критики берут свой возраст ребенка.

Дальше эти соотношения деформируются, т.е. к уравнениям добавляются какие-то новые члены. Тут есть три пути.

Можно ограничиться однородными квадратичными соотношениями, т.е. только с членами степени 2 (по переменным x, y, z, ...). Эта деятельность ведет в теорию вероятностей и на этом (в моем исполнении) заканчивается, поскольку вероятности совсем уж далеки от моих интуиций.

Можно добавлять к квадратичным соотношениям линейные и скалярные члены (т.е. степени 1 и 0). Эта деятельность ведет в экзотические производные категории и к полубесконечным когомологиям.

Наконец, можно добавлять члены степени 3, 4, 5, ... до бесконечности. Эта деятельность связана с когомологиями Галуа и ведет в теорию мотивов.

Comments

[nikaan.livejournal.com]

понять можно в общих чертах. До кошулевости. Дальше - хуже. Совсем епонятно " однородные квадратичные части которых удовлетворяют гомологическому условию".

Пользу - ну я понял хоть как-то, чем Вы занимаетесь. До этого казалось, что это просто какие-то тонкие алгебраические свойства редких объектов. Жаль, что абстракт только один обычно пишут, надо бы два: один как принято, а другой - изложение результатов для неспециалистов, в контексте всего, как сейчас у Вас.

Ну т.е. я просто быстро посмотрел в вики все определения, стало понятнее. Удовольствия - ну, не особо:) я ж ничего не понял, просто некоторый план увидел.

А производные категории второго рода - это просто когда эквивалентность более тонко определяется, и всё(т.е. такое определение)? А можно это тоже на пальцах объяснить - что эта более тонкая эквивалентность сохраняет (в гомологическом смысле, т.е. как характеристику комплекса, а не его членов. Я не знаю, какую-нибудь структуру Hom комплекса в себя, что-нибудь глобальное, в общем). Или я чушь спрашиваю?

[posic.livejournal.com]

Производные категории второго рода я обычно объясняю на пальцах так. На комплекс, вообще, можно смотреть двояко: как на деформацию его когомологий и как на деформацию его же самого, снабженного нулевым дифференциалом. В классической гомологической алгебре с этим связаны две спектральные последовательности гиперкогомологий.

В более общих ситуациях, эти две спектральные последовательности сходятся к двум совершенно разным пределам, т.е. две точки зрения перестают быть эквивалентны. Когда комплекс контролируется своими когомологиями -- это производная категория первого рода, когда своими членами (с забытым дифференциалом) -- второго. В ситуации над CDG (curved DG) алгеброй, у модулей вообще нет когомологий, т.к. дифференциал на них имеет ненулевой квадрат (как дифференциал де Рама на формах с коэффициентами в расслоении, снабженном неплоской связностью). В такой ситуации имеет смысл только производная категория второго рода.

[nikaan.livejournal.com]

ага, спасибо!