Чем я занимаюсь

[posic]

В одном из деловых писем, полученных мною в последние месяцы, к слову высказывалось сожаление, что автору письма так и не удалось понять, чем я занимаюсь.

Независимо от этого, мне нередко сообщают в ЖЖ, что я должен уметь объяснить, чем я занимаюсь, ребенку какого-то там возраста, а иначе я шарлатан. Возраст ребенка, насколько я мог понять, берется из художественной литературы и преломляется далее в фольклоре.

Я могу объяснить, чем я занимаюсь, ребенку тринадцати с половиной летнего возраста, в лице самого себя в этом возрасте (впрочем, думаю, я нашел бы какой-то смутный смысл в этом объяснении и лет в восемь). Вот это объяснение.

Я занимаюсь некоммутативными алгебрами с квадратичными соотношениями, т.е. чем-то типа

xy + 2yx = z²
yz + 2zy = x²
zx + 2xz = y²

Пример условный; квадратичные алгебры устроены непросто, и я на самом деле ничего не знаю про конкретные соотношения выше, которые только что взял примерно оттуда же, откуда те мои критики берут свой возраст ребенка.

Дальше эти соотношения деформируются, т.е. к уравнениям добавляются какие-то новые члены. Тут есть три пути.

Можно ограничиться однородными квадратичными соотношениями, т.е. только с членами степени 2 (по переменным x, y, z, ...). Эта деятельность ведет в теорию вероятностей и на этом (в моем исполнении) заканчивается, поскольку вероятности совсем уж далеки от моих интуиций.

Можно добавлять к квадратичным соотношениям линейные и скалярные члены (т.е. степени 1 и 0). Эта деятельность ведет в экзотические производные категории и к полубесконечным когомологиям.

Наконец, можно добавлять члены степени 3, 4, 5, ... до бесконечности. Эта деятельность связана с когомологиями Галуа и ведет в теорию мотивов.

Comments

[gaz-v-pol.livejournal.com]

Я не понял, а что эти уравнения означают? Казалось бы, единственное решение это x=y=z=0. И что дальше?

[posic.livejournal.com]

Эти уравнения не предназначены для того, чтобы решать их в числах. Если уж решать их в чем-нибудь, то в чем-нибудь некоммутативном -- в кватернионах, матрицах, дифференциальных операторах... Но по правде сказать, они вообще не предназначены для того, чтобы их обязательно в чем-то решать.

Вот у тебя есть буквы x, y, z. Ты можешь составить из них 9 некоммутативных мономов (одночленов) степени 2 (они как раз все входят по одному разу в уравнения), 27 некоммутативных мономов степени 3, 81 некоммутативный моном степени 4, и т.д. Скажем, xyxz -- это один некоммутативный моном степени 4, а zxyx -- совершенно другой. Суммы таких мономов с разными числовыми коэффициентами образуют алгебру (некоммутативное кольцо) -- свободную ассоциативную алгебру с тремя образующими, или кольцо некоммутативных многочленов.

Теперь представь себе, что на наши некоммутативные многочлены наложены соотношения, которые я выписал. Тогда из них формально следуют другие соотношения. Например, xxy = x(xy) = [пользуясь первым из моих соотношений] = x(zz - 2yx) = xzz - 2xyx = (xz)z - 2(xy)x = [пользуясь третьим и первым соотношениями] = (1/2 (yy - zx))z - 2(zz - 2yx)x и т.д. Таким образом, одни мономы степени 3 можно выразить как линейные комбинации других, пользуясь соотношениями. То же относится к мономам степени 4, 5, и т.д., только там это еще сильнее запутывается.

Спрашивается, через какое минимальное число мономов степени 5 можно выразить все остальные, пользуясь этими соотношениями? Следует ли из соотношений, что x⁵ = 0? Существует ли из соотношений, что все мономы степени 10 равны нулю? И т.д.