О примерах в математике

[posic]

По моему впечатлению, среди преподавателей математики на Западе, или по крайней мере в Америке, общим местом является мантра о примерах как универсальном проясняющем инструменте. Никакую теорию нельзя понять без примеров, и любую теорию можно понять, если достаточное количество примеров приводится в курсе. Другой крайностью является мнение, которое высказывал известный израильский логик Сахарон Шелах: примеры только мешают пониманию теорий, отвлекая внимание на свои специфические черты.

Моя позиция такова: примеры очень важны, но не как проясняющий инструмент. Примеры дополняют теории, мотивируют их и наполняют содержанием, но их рассмотрение не облегчает существенным образом ни разработку, ни восприятие теорий. Примеры следует включать в курсы, но не столько для иллюстрации определений, сколько как указание на возможные направления использования теорем.

В контексте курса, излагающего какую-нибудь теорию, все примеры делятся приблизительно на два типа: тривиальные примеры и глубокие примеры. Тривиальные примеры вдумчивый студент может привести самостоятельно, а менее подготовленному студенту они, может быть, помогут чувствовать себя чисто психологически более уверенно, но их в любом случае недостаточно ни для мотивировки, ни для прояснения теорий. Глубокие примеры мотивируют теории и подтверждают их содержательность, но в общем случае они ничуть не легче, а зачастую и сложнее для изучения и понимания, чем теории, в качестве примеров к которым они приводятся. Рассмотрение таких примеров не проясняет и не иллюстрирует соответствующие теории, а дополняет их.

Есть редкие исключения из этой немногообещающей в целом картины, в виде примеров одновременно более наглядных, чем общий случай соответствующей теории, и содержащих в себе ключевые элементы, с которыми теория имеет дело. Включение таких примеров в курсы действительно облегчает понимание. Хорошие преподаватели такие примеры стараются не забывать и приводить.

Update: вот другое мнение на эту тему -- http://aron-turgenev.livejournal.com/120482.html

Comments

[licen.livejournal.com]

Примеры и задачи очень важны. Они помогают понять то, что порой скрыто в теоремах для тех, кто пока ты не прочувствовал всю их глубину. Примеры помогаю понять теоремы. По крайней мере части людей. Если человек способен сам создавать задачи, то это есть признак того, что он понимает то, о чем думает. (Спасибо Школьникову за его темы с задачами: благодаря этим его темам я, например, лучше понял суть закона всемирного тяготения на примере двух планет разных масс при одной и той же сумме масс: оказывается, что планеты равных масс притягиваются сильнее, чем планеты разных масс, находящихся в обоих случаях на одинаковом расстоянии друг от друга. Разве это не удивительно?

[posic.livejournal.com]

Да, видимо разным людям примеры и задачи помогают в разной степени -- у каждого свой стиль работы и способ думать. Кроме того, есть педагогические традиции и теории, которые бывают в чем-то более или менее удачными.

[akater.livejournal.com]

Главное — что одного примера всегда недостаточно. Примеры имеют смысл только тогда, когда их несколько, и они оттеняют друг друга.

Когда приводишь пример топологического пространства человеку, который до этого видел только метрические, — разве можно обойтись только одним примером? Если привести пример метрического пространства, то непонятно, зачем вообще придумывать топологию, а если привести пример неметризуемого, то непонятно, какая связь между этим новым и тем, что знал раньше. Нужно привести два (по крайней мере!) примера, чтобы они в определённом смысле контрастировали. И один из примеров должен быть чист от деталей (в нашем случае это будет пространство с неметризуемой топологией), чтобы продемонстрировать всю мощь определения.

Вот, кстати, элементарная на вид задача: привести пример непрерывной функции (одной вещественной переменной; начала анализа). Примеры непрерывных функций, которые обычно приводятся, нагружены кучей дополнительных деталей. Лектор говорит: привожу пять примеров непрерывных функций, а сам приводит пять примеров гладких функций, из которых четыре — и вовсе аналитические. Один из десяти* покажет кусочно-гладкую. Но такое положение дел совершенно никого не волнует. И Вы, может быть, тоже удивитесь и скажете, что в уж в этом-то ничего страшного нет, «ведь все функции настолько гладкие, насколько нам надо». )

___________
* Я не собирал статистику на этот счёт, но думаю, что если и ошибся, то лишь в свою пользу.

[posic.livejournal.com]

"Пример топологического пространства" или "пример непрерывной функции" -- типичная постановка вопроса о приведении тривиальных примеров, в смысле моего постинга. Вдумчивый студент сам приведет таких примеров вагон. Поскольку не все студенты вдумчивы, а некоторые просто недостаточно подготовлены, приводить такие примеры в лекциях необходимо, наверно. Не надо только ждать от них какого-то особенного проясняющего эффекта, сверх чисто психологического. Понимать логику определений и доказательств такие примеры не помогут.

Но если уж приводить такие примеры, то неплохо бы одновременно дать примеры, объектов, не удовлетворяющих соответствующим определениям -- разрывной функции и т.д.

[akater.livejournal.com]

> "пример непрерывной функции" -- типичная постановка вопроса о приведении тривиальных
> примеров, в смысле моего постинга. Вдумчивый студент сам приведет таких примеров вагон

Про топологические пространства можно как-то поверить (и то, нельзя рассчитывать, что каждый студент за несколько секунд придумает такой пример), а вот про непрерывные функции — сомневаюсь. Интересно, какой бы Вы привели пример «чисто непрерывной» функции?

[posic.livejournal.com]

Не понимаю вопроса -- что такое "чисто непрерывная" функция?

[akater.livejournal.com]

Коротко говоря — непрерывная, но ни в каком смысле не гладкая.

...Вот видите — Вы даже не поняли постановки вопроса. Разве можно в таком случае надеяться, что студенты будут в уме быстро приводить примеры функций, которые являются непрерывными, но при этом другими приятными свойствами (аналитичностью, гладкостью) не обладают? Я думаю, нельзя от студентов этого требовать. Это довольно нетривиальные вещи. Интуиция против них. На это приходится обращать внимание «силой», как это бывает со всеми контрпримерами.

[posic.livejournal.com]

Пример непрерывной (или непрерывной, но дифференцируемой не во всех точках, не аналитической) функции -- тривиальный. Модуль икс, и так далее. Вдумчивый студент такие примеры приведет. Контрпример непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции -- глубокий. Построить его труднее, чем доказать все стандартные теоремы о непрерывных функциях из учебных курсов, вместе взятые. Контрпримеры такого рода возникают в разных важных теориях, как то в теории меры Винера, а также, кажется, в теории тригонометрических рядов. Но ни тот, ни другой класс примеров не помогут понять, зачем придумано понятие непрерывной функции и как с ним работать.

[akater.livejournal.com]

> ни тот, ни другой класс примеров не помогут понять,
> зачем придумано понятие непрерывной функции и как с ним работать.

Это оффтопик, но я категорически не согласен. Если не приводить таких примеров, то студент может спросить: «А зачем вообще нужно изучать непрерывные функции вещественной переменной? Мы во всех теоремах обходимся гладкими функциями вещественной переменной. Про понятие непрерывности нам рассказывают на лекциях по топологии. Там и ретракты, и гомеоморфизмы, и гомотопия — всё очень наглядно. А на анализе-то эта непрерывность зачем?»

К тому же, я считаю, что люди до сих пор не понимают, что такое непрерывная функция вещественной переменной. Пример функции-кандидата на «совершенно негладкую» впервые построил Безикович, в 30-ых годах прошлого века. Это не так уж давно. Люди до сих пор это всё не осмыслили. Мандельброт написал известную научно-популярную книгу, где сказал, что природа устроена негладким образом. Все вроде согласились, но перед фракталами до сих пор пасуют, потому что привыкли к тому, что «всё вокруг гладкое». Если бы действительно было ясно, что такое непрерывность и как с нею работать, фракталы ни для кого не стали бы откровением. Ведь фрактал это и есть непрерывность, и в почти чистом виде («почти» — потому что на самом деле даже всюду недифференцируемые функции можно ранжировать по гладкости; это называется «гёльдеровские классы»).

[posic.livejournal.com]

Вы говорите о сложных вещах, а я -- о простых.

Говоря о простых вещах, я едва ли могу себе представить учебный курс анализа, в котором непрерывность не изучалась бы существенно раньше гладкости и не предшествовала бы ей логически. Гладкость в контексте курсов анализа обычно определяется как существование одной или какого-то другого фиксированного числа непрерывных производных (бесконечная дифференцируемость обычно не требуется), то есть уже само определение гладкости опирается на определение непрерывности. И стандартные теоремы о непрерывных функциях едва ли станут проще, если предположить в них дополнительно гладкость.

Сложные вещи, о которых вы говорите, могут быть важны и содержательны, но они не помогут студенту, изучающему курс анализа. В этом смысле все это иллюстрирует мой пойнт -- "настоящие" примеры имеют тенденцию быть недоступнее теорий, к которым они являются примерами.

[sowa.livejournal.com]

"Говоря о простых вещах, я едва ли могу себе представить учебный курс анализа, в котором непрерывность не изучалась бы существенно раньше гладкости и не предшествовала бы ей логически."

Например, такой курс написал Эйлер. В нем, понятное дело, совсем нет ни пределов, ни непрерывности. Зато есть масса содержания. Значения дзета-функции, эллиптические интегралы. А. Вейль говорил, что читать Эйлера гораздо полезнее, чем современные учебники.

[akater.livejournal.com]

Вот! sowa всё понимает!

[posic.livejournal.com]

Ну, в том курсе, наверно, и понятия гладкой функции не было? И вообще функции понимались неформально, как некие зависимости?

[sowa.livejournal.com]

Там есть развернутое обсуждение понятия функции. С этого книга и начинается. Функция - это скорее не зависимость, а "произвольное аналитическое выражение". Что включает в себя суммы рядов. Так что, в конечном счете, это очень общее понятие, но тогда это было неясно. Но все полезные функции задаются не очень сложными аналитическими выражениями, и теория более чем работоспособна без понятия непрерывной функции - и без понятия гладкой.

При этом понятия непрерывной (и гладкой) функции нужны не ради примеров "совершенно негладких функций". Равно как и понятие топологического пространства нужно не ради экзотических примеров неметризуемых пространств. И то, и другое - это экономичный язык, позволяющий легко доказывать полезные теоремы. Примеры, подобные функции Вейерштрасса, служат довольно продвинутым целям - они показывают, что эти понятия являются именно удобным языком, а не точной формализацией интуитивных представлений. Пониманию этого языка и того, как как им пользоваться, они не помогают.

[jenya444.livejournal.com]

"настоящие" примеры имеют тенденцию быть недоступнее теорий, к которым они являются примерами.

Интересно сравнить ситуацию в физике с процитированной фразой. Мне кажется, когда излагаются некие теории, к ним приводятся "модельные" примеры. Говорят так: давайте пренебрежем эфектами а и б, которые иногда важны, а иногда несущественны, пусть в данном случае они пренебрежимы, тогда наш пример прекрасно проиллюстрирует изложенную теорию (и, конечно, совершенно необходимо приводить примеры, студентам так гораздо проще). В каком-то смысле похоже на то, что Вы написали.

[sowa.livejournal.com]

"Если не приводить таких примеров, то студент может спросить: «А зачем вообще нужно изучать непрерывные функции вещественной переменной?"

В обычном курсе дифференциального исчисления, ориентированном на приложения - не нужно. Так писали и Эйлер, и Зельдович.

Фракталы ни для кого, кроме публики, читающей научно-популярные книжки, не были откровением. Вся математика, имеющая отношение к этому предмету, была построена по большей части довольно давно (хаусдорфова размерность, переименованная во фрактальную, да и «гёльдеровские классы», понятно, придуманы не Мандельбротом). Мандельброт добавил к известным вещам новое слово и книжку с картинками.

[xgrbml.livejournal.com]

Да и в менее важных теориях: концептуальный пример такой функции получается как пример(!) на теорему Бэра. Я бы сказал, что студент, который такой пример разобрал, с неизбежностью много чего уже понимает про основания анализа.

[avzel.livejournal.com]

http://aron-turgenev.livejournal.com/120482.html?view=890018&style=mine#t890018

[posic.livejournal.com]

По поводу Шелаха -- вот текст его очень известного выступления: http://shelah.logic.at/E16/E16.html

В самом начале он говорит:
To a large extent I was attracted first to mathematics and subsequently to mathematical logic by their generality, anticipating that this is the normal attitude; it seems I was mistaken. I have always felt that examples usually just confuse you (though not always), having always specific properties that are traps as they do not hold in general.

[avzel.livejournal.com]

Ну да, Ауслендер точно так же излагал. Такой тип мышления, мне кажется, свойствен очень немногим. Скажем, если учитель навязывает такой способ думать о математике своим ученикам, у которых мозги иначе устроены, может быть много вреда. В обратную сторону, по-моему, куда безопаснее.

[posic.livejournal.com]

По-моему, учитель нужен не для того, чтобы навязывать ученику что-то, а для того, чтобы делиться с учеником чем-то. А курсы и книжки должны быть разнообразными и должна быть возможность выбора между ними.

[avzel.livejournal.com]

> учитель нужен не для того, чтобы навязывать ученику что-то, а для того, чтобы делиться с учеником чем-то.

Золотые слова! Но на практике это навязывание часто происходит (намеренно или нет), и чем ярче личность учителя, тем это более вероятно.

[bravchick.livejournal.com]

Люди все разные. Одним легче учится на примерах, другим без. Хороший преподаватель должен так или иначе это учитывать и объяснять так, чтобы и одному и другому типу учеников было комфортно.

[posic.livejournal.com]

На уровне учебных курсов не самого высокого уровня, это отчасти верно, а от другой части проблема должна решаться повышением разнообразия вариантов таких курсов и расширением выбора, предоставляемого студентам. На уровне курсов высокого уровня, я думаю, начинает ощущаться специфика предмета. То есть продвинутые теории бывают разные, несут на себе отпечатки личностей их создателей, и видимо в некоторых из них примеры помогают больше, а в других меньше. Ну и курс несет сильный отпечаток личности преподавателя тоже.

Поделюсь своим опытом: я вот тут написал 300-страничный труд, где против традиции все нетривиальные примеры вынесены в приложения, а общая теория занимает основную часть текста. Теперь читаю уже второй курс лекций по мотивам этого труда. Устойчивое ощущение: то, что относится к примерам, воспринимается слушателями труднее, чем общая теория (хотя и теория не очень легко воспринимается). Для меня самого эти примеры намного сложнее, чем теория.

[bravchick.livejournal.com]

Согласен. Твой опыт подтверждает, мне кажется, твой же тезис, что курс несет отпечаток личности преподавателя. Очень может быть, что примеры воспринимались труднее не из-за объективных свойств этой науки, а из-за твоего отношения к этим примерам

[posic.livejournal.com]

Ну, для меня эти примеры важны и я провел много времени, продумывая их; остается надеяться, что подсознательного стремления внушить слушателям отвращение к этим примерам у меня нет. А какие могут быть объективные свойства у науки, которая только и существует в виде одного моего препринта (который даже и не читал никто)? Пройдет время, фронт науки, если Бог даст, продвинется вперед, и будут разные изложения и переосмысления, между которыми преподаватель сможет выбирать. На самом же переднем фронте у теорий не бывает объективных свойств, по-моему.

[bravchick.livejournal.com]

какие могут быть объективные свойства у науки, которая только и существует в виде одного моего препринта (который даже и не читал никто)?

Кажется, мы рискуем возобновить дискуссию о том, что есть наука, и открываем ли мы Божий замысел, или сочиняем что хотим. :)))

[posic.livejournal.com]

Мы открываем Божий замысел, глядя на него каждый со своей точки зрения, делая акценты на тех его элементах, которые нас лично больше всего привлекают, и уходя от рассмотрения тех элементов, которые кажутся нам менее понятными или менее существенными. :))

[marina_p]

Ага, я, прочитав пост, так и подумала, что это по мотивам двух последних лекций :-)

Про себя могу сказать, что на последней лекции использовалось больше более-менее знакомых мне вещей, а на предыдущей почти всё было основано или на незнакомых, или на рассказанных неделю-две назад (понимания которых тоже ещё не возникло). Если бы до лекций я была незнакома с гомотопическими/производными/триангулированными категориями, то последняя лекция была бы тоже совсем непонятна. То есть дело отчасти в том, что примеры были к теории, понимания которой у меня пока нет.

[posic.livejournal.com]

Постинг написан, конечно, под впечатлением от последних лекций, но выраженные в нем взгляды в целом сформировались давно.

В ваших словах подразумевается, что сначала нужно понять теорию, а потом изучать примеры к ней. Это нетривиальное утверждение и во многих случаях верное, по-моему.

[marina_p]

Я согласна, что "во многих случаях" (не всегда). Иногда примеры помогают понять теорию, а иногда -- нет. А вот как определить общий принцип (в каких случаях помогают), я не знаю. Может быть, дело ещё и в искусстве нахождения примеров третьего типа (по классификации вашего поста) -- не все им владеют.

[sowa.livejournal.com]

Видимо, есть два типа математиков и студентов. Математики и студенты первого типа, услышав о новой работе или идее, стараются понять, чем она красива и интересна. Она интересует их сама по себе. Математики и студенты второго типа первым делом задают вопрос: "А зачем это нужно?"

Мне доводилось сталкиваться с этим на всех уровнях. Однажды, рассказав ныне хорошо известному математику А (тогда его известность была еще довольно локальна) о новой, на мой взгляд, очень красивой работе одного будущего лауреата премии Абеля Б (впоследствии из этой работы возникла целая наука), я услышал именно этот вопрос: "А зачем это нужно?" Почему-то это меня очень задело, и я ответил: "Вы занимаетесь классификацией объектов типа X, в этой работе делается попытка классификации объектов типа Y, почему Ваша деятельность интересна, а эта работа Б - нет?"

При этом в деятельности А было очень много примеров, а работа Б предлагала почти полную классификацию (при некоторых ограничениях) без рассмотрения нетривиальных примеров.

Вероятно, людей второго типа больше, или, по крайней мере, они сейчас приобрели доминирующее положение в науке и преподавании. Так что приходится выдумывать примеры даже там, где их просто нет: например, в теории, изучающей единственный объект.

[posic.livejournal.com]

Да, математический прагматизм такой. Как обычно бывает с прагматизмом, он не очень практичен. Ведь на самом деле польза от теорий не столько в том, что к ним есть примеры, сколько в том, что по аналогии с ними можно придумать другие теории, примерами к которым будет то, что вам нужно.

Возможно, один из корней этого прагматизма в том, что люди не решаются, не берут на себя смелость оценивать красоту и содержательность идей как таковых. Вместо этого они ищут привязки к какому-нибудь материалу, важность которого уже общепризнанна и считается установленной.

[roma.livejournal.com]

У П.Э. теория, что у каждого есть комфортный уровень абстракции, и человеку не нравится удаляться от него ни в какую сторону.

По-моему, большинство людей так устроены так, что им без примеров трудно/неинтересно продумывать теорию.

Как иначе можно аргументировать содержательность теории за небольшое время, если не примерами (за большое можно ей полностью обучить)?

[posic.livejournal.com]

Проблема в том, что примеров, которые можно привести за небольшое время, обычно бывает недостаточно для того, чтобы аргументировать содержательность теории с какой-либо убедительностью, кроме чисто психологической. Конечно, психологический комфорт слушателей тоже имеет значение и можно приложить какие-то усилия для его достижения; не надо только путать психологический комфорт с пониманием.

[roma.livejournal.com]

я бы сказал, что задача лектора обеспечить психологический комфорт и ресурсы для достижения понимания -- понимания человек может достичь только самостоятельно

[posic.livejournal.com]

Пойнт в том, что примеры не являются ни достаточным ресурсом для достижения понимания, ни вообще более важным понимательным ресурсом, чем остальные традиционные элементы математического изложения. Хотя для кого-то наличие хоть каких-нибудь примеров может быть необходимым для психологического комфорта.

[(Anonymous)]

>Есть редкие исключения из этой немногообещающей в целом картины, в виде примеров одновременно более >наглядных, чем общий случай соответствующей теории, и содержащих в себе ключевые элементы, с которыми >теория имеет дело.
Категория Set, наверное, является как раз таким примером в теории категорий.

[posic.livejournal.com]

Да, вообще в теории категорий одни только примеры и интересны. Трудные общие теоремы в ней только пугают.