О примерах в математике

[posic]

По моему впечатлению, среди преподавателей математики на Западе, или по крайней мере в Америке, общим местом является мантра о примерах как универсальном проясняющем инструменте. Никакую теорию нельзя понять без примеров, и любую теорию можно понять, если достаточное количество примеров приводится в курсе. Другой крайностью является мнение, которое высказывал известный израильский логик Сахарон Шелах: примеры только мешают пониманию теорий, отвлекая внимание на свои специфические черты.

Моя позиция такова: примеры очень важны, но не как проясняющий инструмент. Примеры дополняют теории, мотивируют их и наполняют содержанием, но их рассмотрение не облегчает существенным образом ни разработку, ни восприятие теорий. Примеры следует включать в курсы, но не столько для иллюстрации определений, сколько как указание на возможные направления использования теорем.

В контексте курса, излагающего какую-нибудь теорию, все примеры делятся приблизительно на два типа: тривиальные примеры и глубокие примеры. Тривиальные примеры вдумчивый студент может привести самостоятельно, а менее подготовленному студенту они, может быть, помогут чувствовать себя чисто психологически более уверенно, но их в любом случае недостаточно ни для мотивировки, ни для прояснения теорий. Глубокие примеры мотивируют теории и подтверждают их содержательность, но в общем случае они ничуть не легче, а зачастую и сложнее для изучения и понимания, чем теории, в качестве примеров к которым они приводятся. Рассмотрение таких примеров не проясняет и не иллюстрирует соответствующие теории, а дополняет их.

Есть редкие исключения из этой немногообещающей в целом картины, в виде примеров одновременно более наглядных, чем общий случай соответствующей теории, и содержащих в себе ключевые элементы, с которыми теория имеет дело. Включение таких примеров в курсы действительно облегчает понимание. Хорошие преподаватели такие примеры стараются не забывать и приводить.

Update: вот другое мнение на эту тему -- http://aron-turgenev.livejournal.com/120482.html

Comments

[marina_p]

Ага, я, прочитав пост, так и подумала, что это по мотивам двух последних лекций :-)

Про себя могу сказать, что на последней лекции использовалось больше более-менее знакомых мне вещей, а на предыдущей почти всё было основано или на незнакомых, или на рассказанных неделю-две назад (понимания которых тоже ещё не возникло). Если бы до лекций я была незнакома с гомотопическими/производными/триангулированными категориями, то последняя лекция была бы тоже совсем непонятна. То есть дело отчасти в том, что примеры были к теории, понимания которой у меня пока нет.

[posic.livejournal.com]

Постинг написан, конечно, под впечатлением от последних лекций, но выраженные в нем взгляды в целом сформировались давно.

В ваших словах подразумевается, что сначала нужно понять теорию, а потом изучать примеры к ней. Это нетривиальное утверждение и во многих случаях верное, по-моему.

[marina_p]

Я согласна, что "во многих случаях" (не всегда). Иногда примеры помогают понять теорию, а иногда -- нет. А вот как определить общий принцип (в каких случаях помогают), я не знаю. Может быть, дело ещё и в искусстве нахождения примеров третьего типа (по классификации вашего поста) -- не все им владеют.