О примерах в математике

[posic]

По моему впечатлению, среди преподавателей математики на Западе, или по крайней мере в Америке, общим местом является мантра о примерах как универсальном проясняющем инструменте. Никакую теорию нельзя понять без примеров, и любую теорию можно понять, если достаточное количество примеров приводится в курсе. Другой крайностью является мнение, которое высказывал известный израильский логик Сахарон Шелах: примеры только мешают пониманию теорий, отвлекая внимание на свои специфические черты.

Моя позиция такова: примеры очень важны, но не как проясняющий инструмент. Примеры дополняют теории, мотивируют их и наполняют содержанием, но их рассмотрение не облегчает существенным образом ни разработку, ни восприятие теорий. Примеры следует включать в курсы, но не столько для иллюстрации определений, сколько как указание на возможные направления использования теорем.

В контексте курса, излагающего какую-нибудь теорию, все примеры делятся приблизительно на два типа: тривиальные примеры и глубокие примеры. Тривиальные примеры вдумчивый студент может привести самостоятельно, а менее подготовленному студенту они, может быть, помогут чувствовать себя чисто психологически более уверенно, но их в любом случае недостаточно ни для мотивировки, ни для прояснения теорий. Глубокие примеры мотивируют теории и подтверждают их содержательность, но в общем случае они ничуть не легче, а зачастую и сложнее для изучения и понимания, чем теории, в качестве примеров к которым они приводятся. Рассмотрение таких примеров не проясняет и не иллюстрирует соответствующие теории, а дополняет их.

Есть редкие исключения из этой немногообещающей в целом картины, в виде примеров одновременно более наглядных, чем общий случай соответствующей теории, и содержащих в себе ключевые элементы, с которыми теория имеет дело. Включение таких примеров в курсы действительно облегчает понимание. Хорошие преподаватели такие примеры стараются не забывать и приводить.

Update: вот другое мнение на эту тему -- http://aron-turgenev.livejournal.com/120482.html

Comments

[licen.livejournal.com]

Примеры и задачи очень важны. Они помогают понять то, что порой скрыто в теоремах для тех, кто пока ты не прочувствовал всю их глубину. Примеры помогаю понять теоремы. По крайней мере части людей. Если человек способен сам создавать задачи, то это есть признак того, что он понимает то, о чем думает. (Спасибо Школьникову за его темы с задачами: благодаря этим его темам я, например, лучше понял суть закона всемирного тяготения на примере двух планет разных масс при одной и той же сумме масс: оказывается, что планеты равных масс притягиваются сильнее, чем планеты разных масс, находящихся в обоих случаях на одинаковом расстоянии друг от друга. Разве это не удивительно?

[posic.livejournal.com]

Да, видимо разным людям примеры и задачи помогают в разной степени -- у каждого свой стиль работы и способ думать. Кроме того, есть педагогические традиции и теории, которые бывают в чем-то более или менее удачными.