О примерах в математике

[posic]

По моему впечатлению, среди преподавателей математики на Западе, или по крайней мере в Америке, общим местом является мантра о примерах как универсальном проясняющем инструменте. Никакую теорию нельзя понять без примеров, и любую теорию можно понять, если достаточное количество примеров приводится в курсе. Другой крайностью является мнение, которое высказывал известный израильский логик Сахарон Шелах: примеры только мешают пониманию теорий, отвлекая внимание на свои специфические черты.

Моя позиция такова: примеры очень важны, но не как проясняющий инструмент. Примеры дополняют теории, мотивируют их и наполняют содержанием, но их рассмотрение не облегчает существенным образом ни разработку, ни восприятие теорий. Примеры следует включать в курсы, но не столько для иллюстрации определений, сколько как указание на возможные направления использования теорем.

В контексте курса, излагающего какую-нибудь теорию, все примеры делятся приблизительно на два типа: тривиальные примеры и глубокие примеры. Тривиальные примеры вдумчивый студент может привести самостоятельно, а менее подготовленному студенту они, может быть, помогут чувствовать себя чисто психологически более уверенно, но их в любом случае недостаточно ни для мотивировки, ни для прояснения теорий. Глубокие примеры мотивируют теории и подтверждают их содержательность, но в общем случае они ничуть не легче, а зачастую и сложнее для изучения и понимания, чем теории, в качестве примеров к которым они приводятся. Рассмотрение таких примеров не проясняет и не иллюстрирует соответствующие теории, а дополняет их.

Есть редкие исключения из этой немногообещающей в целом картины, в виде примеров одновременно более наглядных, чем общий случай соответствующей теории, и содержащих в себе ключевые элементы, с которыми теория имеет дело. Включение таких примеров в курсы действительно облегчает понимание. Хорошие преподаватели такие примеры стараются не забывать и приводить.

Update: вот другое мнение на эту тему -- http://aron-turgenev.livejournal.com/120482.html

Comments

[posic.livejournal.com]

Да, математический прагматизм такой. Как обычно бывает с прагматизмом, он не очень практичен. Ведь на самом деле польза от теорий не столько в том, что к ним есть примеры, сколько в том, что по аналогии с ними можно придумать другие теории, примерами к которым будет то, что вам нужно.

Возможно, один из корней этого прагматизма в том, что люди не решаются, не берут на себя смелость оценивать красоту и содержательность идей как таковых. Вместо этого они ищут привязки к какому-нибудь материалу, важность которого уже общепризнанна и считается установленной.