О примерах в математике

[posic]

По моему впечатлению, среди преподавателей математики на Западе, или по крайней мере в Америке, общим местом является мантра о примерах как универсальном проясняющем инструменте. Никакую теорию нельзя понять без примеров, и любую теорию можно понять, если достаточное количество примеров приводится в курсе. Другой крайностью является мнение, которое высказывал известный израильский логик Сахарон Шелах: примеры только мешают пониманию теорий, отвлекая внимание на свои специфические черты.

Моя позиция такова: примеры очень важны, но не как проясняющий инструмент. Примеры дополняют теории, мотивируют их и наполняют содержанием, но их рассмотрение не облегчает существенным образом ни разработку, ни восприятие теорий. Примеры следует включать в курсы, но не столько для иллюстрации определений, сколько как указание на возможные направления использования теорем.

В контексте курса, излагающего какую-нибудь теорию, все примеры делятся приблизительно на два типа: тривиальные примеры и глубокие примеры. Тривиальные примеры вдумчивый студент может привести самостоятельно, а менее подготовленному студенту они, может быть, помогут чувствовать себя чисто психологически более уверенно, но их в любом случае недостаточно ни для мотивировки, ни для прояснения теорий. Глубокие примеры мотивируют теории и подтверждают их содержательность, но в общем случае они ничуть не легче, а зачастую и сложнее для изучения и понимания, чем теории, в качестве примеров к которым они приводятся. Рассмотрение таких примеров не проясняет и не иллюстрирует соответствующие теории, а дополняет их.

Есть редкие исключения из этой немногообещающей в целом картины, в виде примеров одновременно более наглядных, чем общий случай соответствующей теории, и содержащих в себе ключевые элементы, с которыми теория имеет дело. Включение таких примеров в курсы действительно облегчает понимание. Хорошие преподаватели такие примеры стараются не забывать и приводить.

Update: вот другое мнение на эту тему -- http://aron-turgenev.livejournal.com/120482.html

Comments

[akater.livejournal.com]

Главное — что одного примера всегда недостаточно. Примеры имеют смысл только тогда, когда их несколько, и они оттеняют друг друга.

Когда приводишь пример топологического пространства человеку, который до этого видел только метрические, — разве можно обойтись только одним примером? Если привести пример метрического пространства, то непонятно, зачем вообще придумывать топологию, а если привести пример неметризуемого, то непонятно, какая связь между этим новым и тем, что знал раньше. Нужно привести два (по крайней мере!) примера, чтобы они в определённом смысле контрастировали. И один из примеров должен быть чист от деталей (в нашем случае это будет пространство с неметризуемой топологией), чтобы продемонстрировать всю мощь определения.

Вот, кстати, элементарная на вид задача: привести пример непрерывной функции (одной вещественной переменной; начала анализа). Примеры непрерывных функций, которые обычно приводятся, нагружены кучей дополнительных деталей. Лектор говорит: привожу пять примеров непрерывных функций, а сам приводит пять примеров гладких функций, из которых четыре — и вовсе аналитические. Один из десяти* покажет кусочно-гладкую. Но такое положение дел совершенно никого не волнует. И Вы, может быть, тоже удивитесь и скажете, что в уж в этом-то ничего страшного нет, «ведь все функции настолько гладкие, насколько нам надо». )

___________
* Я не собирал статистику на этот счёт, но думаю, что если и ошибся, то лишь в свою пользу.

[posic.livejournal.com]

"Пример топологического пространства" или "пример непрерывной функции" -- типичная постановка вопроса о приведении тривиальных примеров, в смысле моего постинга. Вдумчивый студент сам приведет таких примеров вагон. Поскольку не все студенты вдумчивы, а некоторые просто недостаточно подготовлены, приводить такие примеры в лекциях необходимо, наверно. Не надо только ждать от них какого-то особенного проясняющего эффекта, сверх чисто психологического. Понимать логику определений и доказательств такие примеры не помогут.

Но если уж приводить такие примеры, то неплохо бы одновременно дать примеры, объектов, не удовлетворяющих соответствующим определениям -- разрывной функции и т.д.

[akater.livejournal.com]

> "пример непрерывной функции" -- типичная постановка вопроса о приведении тривиальных
> примеров, в смысле моего постинга. Вдумчивый студент сам приведет таких примеров вагон

Про топологические пространства можно как-то поверить (и то, нельзя рассчитывать, что каждый студент за несколько секунд придумает такой пример), а вот про непрерывные функции — сомневаюсь. Интересно, какой бы Вы привели пример «чисто непрерывной» функции?

[posic.livejournal.com]

Не понимаю вопроса -- что такое "чисто непрерывная" функция?

[akater.livejournal.com]

Коротко говоря — непрерывная, но ни в каком смысле не гладкая.

...Вот видите — Вы даже не поняли постановки вопроса. Разве можно в таком случае надеяться, что студенты будут в уме быстро приводить примеры функций, которые являются непрерывными, но при этом другими приятными свойствами (аналитичностью, гладкостью) не обладают? Я думаю, нельзя от студентов этого требовать. Это довольно нетривиальные вещи. Интуиция против них. На это приходится обращать внимание «силой», как это бывает со всеми контрпримерами.

[posic.livejournal.com]

Пример непрерывной (или непрерывной, но дифференцируемой не во всех точках, не аналитической) функции -- тривиальный. Модуль икс, и так далее. Вдумчивый студент такие примеры приведет. Контрпример непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции -- глубокий. Построить его труднее, чем доказать все стандартные теоремы о непрерывных функциях из учебных курсов, вместе взятые. Контрпримеры такого рода возникают в разных важных теориях, как то в теории меры Винера, а также, кажется, в теории тригонометрических рядов. Но ни тот, ни другой класс примеров не помогут понять, зачем придумано понятие непрерывной функции и как с ним работать.

[akater.livejournal.com]

> ни тот, ни другой класс примеров не помогут понять,
> зачем придумано понятие непрерывной функции и как с ним работать.

Это оффтопик, но я категорически не согласен. Если не приводить таких примеров, то студент может спросить: «А зачем вообще нужно изучать непрерывные функции вещественной переменной? Мы во всех теоремах обходимся гладкими функциями вещественной переменной. Про понятие непрерывности нам рассказывают на лекциях по топологии. Там и ретракты, и гомеоморфизмы, и гомотопия — всё очень наглядно. А на анализе-то эта непрерывность зачем?»

К тому же, я считаю, что люди до сих пор не понимают, что такое непрерывная функция вещественной переменной. Пример функции-кандидата на «совершенно негладкую» впервые построил Безикович, в 30-ых годах прошлого века. Это не так уж давно. Люди до сих пор это всё не осмыслили. Мандельброт написал известную научно-популярную книгу, где сказал, что природа устроена негладким образом. Все вроде согласились, но перед фракталами до сих пор пасуют, потому что привыкли к тому, что «всё вокруг гладкое». Если бы действительно было ясно, что такое непрерывность и как с нею работать, фракталы ни для кого не стали бы откровением. Ведь фрактал это и есть непрерывность, и в почти чистом виде («почти» — потому что на самом деле даже всюду недифференцируемые функции можно ранжировать по гладкости; это называется «гёльдеровские классы»).

[posic.livejournal.com]

Вы говорите о сложных вещах, а я -- о простых.

Говоря о простых вещах, я едва ли могу себе представить учебный курс анализа, в котором непрерывность не изучалась бы существенно раньше гладкости и не предшествовала бы ей логически. Гладкость в контексте курсов анализа обычно определяется как существование одной или какого-то другого фиксированного числа непрерывных производных (бесконечная дифференцируемость обычно не требуется), то есть уже само определение гладкости опирается на определение непрерывности. И стандартные теоремы о непрерывных функциях едва ли станут проще, если предположить в них дополнительно гладкость.

Сложные вещи, о которых вы говорите, могут быть важны и содержательны, но они не помогут студенту, изучающему курс анализа. В этом смысле все это иллюстрирует мой пойнт -- "настоящие" примеры имеют тенденцию быть недоступнее теорий, к которым они являются примерами.

[sowa.livejournal.com]

"Говоря о простых вещах, я едва ли могу себе представить учебный курс анализа, в котором непрерывность не изучалась бы существенно раньше гладкости и не предшествовала бы ей логически."

Например, такой курс написал Эйлер. В нем, понятное дело, совсем нет ни пределов, ни непрерывности. Зато есть масса содержания. Значения дзета-функции, эллиптические интегралы. А. Вейль говорил, что читать Эйлера гораздо полезнее, чем современные учебники.

[akater.livejournal.com]

Вот! sowa всё понимает!

[posic.livejournal.com]

Ну, в том курсе, наверно, и понятия гладкой функции не было? И вообще функции понимались неформально, как некие зависимости?

[sowa.livejournal.com]

Там есть развернутое обсуждение понятия функции. С этого книга и начинается. Функция - это скорее не зависимость, а "произвольное аналитическое выражение". Что включает в себя суммы рядов. Так что, в конечном счете, это очень общее понятие, но тогда это было неясно. Но все полезные функции задаются не очень сложными аналитическими выражениями, и теория более чем работоспособна без понятия непрерывной функции - и без понятия гладкой.

При этом понятия непрерывной (и гладкой) функции нужны не ради примеров "совершенно негладких функций". Равно как и понятие топологического пространства нужно не ради экзотических примеров неметризуемых пространств. И то, и другое - это экономичный язык, позволяющий легко доказывать полезные теоремы. Примеры, подобные функции Вейерштрасса, служат довольно продвинутым целям - они показывают, что эти понятия являются именно удобным языком, а не точной формализацией интуитивных представлений. Пониманию этого языка и того, как как им пользоваться, они не помогают.

[jenya444.livejournal.com]

"настоящие" примеры имеют тенденцию быть недоступнее теорий, к которым они являются примерами.

Интересно сравнить ситуацию в физике с процитированной фразой. Мне кажется, когда излагаются некие теории, к ним приводятся "модельные" примеры. Говорят так: давайте пренебрежем эфектами а и б, которые иногда важны, а иногда несущественны, пусть в данном случае они пренебрежимы, тогда наш пример прекрасно проиллюстрирует изложенную теорию (и, конечно, совершенно необходимо приводить примеры, студентам так гораздо проще). В каком-то смысле похоже на то, что Вы написали.

[sowa.livejournal.com]

"Если не приводить таких примеров, то студент может спросить: «А зачем вообще нужно изучать непрерывные функции вещественной переменной?"

В обычном курсе дифференциального исчисления, ориентированном на приложения - не нужно. Так писали и Эйлер, и Зельдович.

Фракталы ни для кого, кроме публики, читающей научно-популярные книжки, не были откровением. Вся математика, имеющая отношение к этому предмету, была построена по большей части довольно давно (хаусдорфова размерность, переименованная во фрактальную, да и «гёльдеровские классы», понятно, придуманы не Мандельбротом). Мандельброт добавил к известным вещам новое слово и книжку с картинками.

[xgrbml.livejournal.com]

Да и в менее важных теориях: концептуальный пример такой функции получается как пример(!) на теорему Бэра. Я бы сказал, что студент, который такой пример разобрал, с неизбежностью много чего уже понимает про основания анализа.