Плоских квазикогерентных пучков всегда много

Нижеследующее мне объяснил А.Н. (детали доказательства ниже мои).

Теорема: любой квазикогерентный пучок на квазикомпактной полуотделимой схеме является факторпучком плоского квазикогерентного пучка.

Комментарий: прежде всего отметим, что плоских пучков на схеме, удовлетворяющей вышеописанным условиям, "много" в наивном, расплывчатом смысле. Попросту, вложение аффинной открытой подсхемы в полуотделимую схему является плоским аффинным морфизмом, так что функтор прямого образа при таком вложении (точен и) переводит плоские пучки в плоские. Если схема к тому же квазикомпактна, (уже даже конечных) прямых сумм плоских пучков такого вида в неком расплывчатом смысле "много".

Доказательство теоремы: пусть M -- квазикогерентный пучок на нашей схеме X, плоский в ограничении на открытую подсхему V, и пусть U -- аффинная открытая подсхема в X. Построим квазикогерентный пучок N, плоский в ограничении на U∪V и сюръективно отображающийся на M.

Пусть j обозначает открытое вложение U → X, и пусть F -- плоский пучок на U, сюръективно отображающийся на j*M с ядром K. Имеется точная тройка j_*K → j_* F → j_*j*M квазикогерентных пучков на X. Рассмотрим индуцированную с нее точную тройку при естественном отображении пучков M → j_*j*M. Пусть N -- средний член новой точной тройки; тогда пучок N сюръективно отображается на M с ядром j_*K.

В ограничении на U отображение M → j_*j*M становится изоморфизмом, так что N|_U = F -- плоский пучок. Далее, пучок j*M плоский в ограничении на U∩V, откуда следует, что тем же свойством обладает и пучок K. Поскольку U∩V → V -- плоский аффинный морфизм, пучок j_*K плоский в ограничении на V. Отсюда и пучок N, будучи расширением M и j_*K, является плоским в ограничении на V. Теорема доказана.

... Мораль из вышесказанного в том, что при разбирательстве с бесконечно порожденными матричными факторизациями можно пользоваться локально свободными м.ф. -- и тогда нужно предполагать, что локально свободных пучков бесконечного ранга достаточно много. Или, альтернативным образом, можно пользоваться плоскими м.ф. -- и тогда нужно предполагать, что (полуотделимая нетерова) схема имеет конечную размерность Крулля (и пользоваться результатами Рейно-Грюзона). При этом для работы с конечно порожденными м.ф. все равно нужно предполагать достаточное количество векторных расслоений.

Модельная структура на CDG-алгебрах?

По итогам обсуждения с В.Т.Л.: сверхоптимистическая гипотеза могла бы выглядеть примерно так.

Св.-о. г.: существует модельная структура на категории CDG-алгебр (скажем, над коммутативным кольцом k конечной гомологической размерности, или даже произвольным), такая что

1) расслоения суть сюръективные морфизмы;

2) корасслоения суть морфизмы CDG-алгебр A → B, такие что градуированная алгебра B свободно порождена над градуированной алгеброй A неким множеством однородных элементов, или является ретрактом такой свободно порожденной алгебры;

3) морфизм CDG-алгебр является слабой эквивалентностью тогда и только тогда, когда он индуцирует эквивалентность копроизводных категорий CDG-модулей, и/или эквивалентность контрапроизводных категорий CDG-модулей.

Похоже ли это на правду? По-моему, нет. Но конкретной причины, почему это не может быть правдой, я назвать не могу.

Конференционная неделя

В целом, ничего похожего по продуктивности на только что прошедшую конференцию у меня не было со времен воркшопа в Падерборне в конце мая 2009 года, или вообще никогда. Собственно, это уже по этому журналу видно.

Вот что значит -- представительное сборище по твоей узкой тематике, проводимое в момент, когда ты над ней интенсивно работаешь. Даже в маленьком П.; тем более в большой Москве.

Забыл с Т.Д. про прямые образы матричных факторизаций поговорить; это жалко.

fp-инъективные модули им. Х.К.

Взято из Example 5.8 к прекрасной статье http://arxiv.org/abs/1005.0209 .

Модуль J над некоммутативным кольцом R называется fp-инъективным, если Ext_R¹(M,J) = 0 для любого конечно представимого R-модуля M. Класс fp-инъективных модулей замкнут относительно расширений, бесконечных прямых сумм и бесконечных произведений. Ниоткуда не следует, однако, что он должен быть замкнут относительно коядер вложений (хотя для когерентного кольца это, очевидно, выполняется). fp-инъективные модули находятся примерно в таком же отношении к инъективным, как плоские к проективным. Над нетеровым кольцом fp-инъективные модули совпадают с инъективными.

Условие (*) из раздела 3.7 статьи Two kinds of derived categories... (что счетные прямые суммы инъективных модулей имеют конечную инъективную размерность) должно быть удобно проверять, используя эти fp-инъективные модули. Если они имеют конечную инъективную размерность, то условие (*) выполнено.