![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНижеследующее мне объяснил А.Н. (детали доказательства ниже мои).
Теорема: любой квазикогерентный пучок на квазикомпактной полуотделимой схеме является факторпучком плоского квазикогерентного пучка.
Комментарий: прежде всего отметим, что плоских пучков на схеме, удовлетворяющей вышеописанным условиям, "много" в наивном, расплывчатом смысле. Попросту, вложение аффинной открытой подсхемы в полуотделимую схему является плоским аффинным морфизмом, так что функтор прямого образа при таком вложении (точен и) переводит плоские пучки в плоские. Если схема к тому же квазикомпактна, (уже даже конечных) прямых сумм плоских пучков такого вида в неком расплывчатом смысле "много".
Доказательство теоремы: пусть M -- квазикогерентный пучок на нашей схеме X, плоский в ограничении на открытую подсхему V, и пусть U -- аффинная открытая подсхема в X. Построим квазикогерентный пучок N, плоский в ограничении на U∪V и сюръективно отображающийся на M.
Пусть j обозначает открытое вложение U → X, и пусть F -- плоский пучок на U, сюръективно отображающийся на j*M с ядром K. Имеется точная тройка j*K → j* F → j*j*M квазикогерентных пучков на X. Рассмотрим индуцированную с нее точную тройку при естественном отображении пучков M → j*j*M. Пусть N -- средний член новой точной тройки; тогда пучок N сюръективно отображается на M с ядром j*K.
В ограничении на U отображение M → j*j*M становится изоморфизмом, так что N|U = F -- плоский пучок. Далее, пучок j*M плоский в ограничении на U∩V, откуда следует, что тем же свойством обладает и пучок K. Поскольку U∩V → V -- плоский аффинный морфизм, пучок j*K плоский в ограничении на V. Отсюда и пучок N, будучи расширением M и j*K, является плоским в ограничении на V. Теорема доказана.
... Мораль из вышесказанного в том, что при разбирательстве с бесконечно порожденными матричными факторизациями можно пользоваться локально свободными м.ф. -- и тогда нужно предполагать, что локально свободных пучков бесконечного ранга достаточно много. Или, альтернативным образом, можно пользоваться плоскими м.ф. -- и тогда нужно предполагать, что (полуотделимая нетерова) схема имеет конечную размерность Крулля (и пользоваться результатами Рейно-Грюзона). При этом для работы с конечно порожденными м.ф. все равно нужно предполагать достаточное количество векторных расслоений.
Теорема: любой квазикогерентный пучок на квазикомпактной полуотделимой схеме является факторпучком плоского квазикогерентного пучка.
Комментарий: прежде всего отметим, что плоских пучков на схеме, удовлетворяющей вышеописанным условиям, "много" в наивном, расплывчатом смысле. Попросту, вложение аффинной открытой подсхемы в полуотделимую схему является плоским аффинным морфизмом, так что функтор прямого образа при таком вложении (точен и) переводит плоские пучки в плоские. Если схема к тому же квазикомпактна, (уже даже конечных) прямых сумм плоских пучков такого вида в неком расплывчатом смысле "много".
Доказательство теоремы: пусть M -- квазикогерентный пучок на нашей схеме X, плоский в ограничении на открытую подсхему V, и пусть U -- аффинная открытая подсхема в X. Построим квазикогерентный пучок N, плоский в ограничении на U∪V и сюръективно отображающийся на M.
Пусть j обозначает открытое вложение U → X, и пусть F -- плоский пучок на U, сюръективно отображающийся на j*M с ядром K. Имеется точная тройка j*K → j* F → j*j*M квазикогерентных пучков на X. Рассмотрим индуцированную с нее точную тройку при естественном отображении пучков M → j*j*M. Пусть N -- средний член новой точной тройки; тогда пучок N сюръективно отображается на M с ядром j*K.
В ограничении на U отображение M → j*j*M становится изоморфизмом, так что N|U = F -- плоский пучок. Далее, пучок j*M плоский в ограничении на U∩V, откуда следует, что тем же свойством обладает и пучок K. Поскольку U∩V → V -- плоский аффинный морфизм, пучок j*K плоский в ограничении на V. Отсюда и пучок N, будучи расширением M и j*K, является плоским в ограничении на V. Теорема доказана.
... Мораль из вышесказанного в том, что при разбирательстве с бесконечно порожденными матричными факторизациями можно пользоваться локально свободными м.ф. -- и тогда нужно предполагать, что локально свободных пучков бесконечного ранга достаточно много. Или, альтернативным образом, можно пользоваться плоскими м.ф. -- и тогда нужно предполагать, что (полуотделимая нетерова) схема имеет конечную размерность Крулля (и пользоваться результатами Рейно-Грюзона). При этом для работы с конечно порожденными м.ф. все равно нужно предполагать достаточное количество векторных расслоений.
