Очередное интервью Ландо про матфак ВШЭ

[posic]

На 4-й странице 17-го номера "Троицкого варианта" -- http://www.scientific.ru/trv/17N.pdf

Порекламирую новый математический факультет Высшей Школы Экономики и я. Я знаю сейчас в России всего два высших учебных заведения, которые хотя бы стремятся преподавать современную фундамендальную математику (а не устаревшую лет на 100 инженерно-прикладную). Это один частный университет -- НМУ, и один факультет государственного университета -- матфак ВШЭ.

Comments

[sowa.livejournal.com]

Нет, конечно. Это разговоры для вечеринок.

А теперь - серьезнее. В математике нет какой-нибудь центральной задачи, вроде объединения гравитации с квантовой теорией поля. Вопрос о том, какой областью и какой задачей заниматься, черезвычайно важен. Развитие математики в значительной степени состоит в выборе задач, а не в их решении - нас интересуют далеко не все верные утверждение. И для конкретного математика очень важно, какой областью и какой задачей заниматься - промахнешься, выберешь неподходящую для себя или для эпохи (технические средства еще не созданы) задачу - и пропадут месяцы, а то и годы работы. Ну а в разговорах обсуждение этих вещей часто принимает форму оценок личностей - этот занимается ерудной, этот - крут. Это такая же традиция, как и приписывание теоремам имен их действительных или мнимых авторов. Фамилия дает мгновенную привязку к контексту.

[posic.livejournal.com]

Один (охарактеризуем его так) известный специалист по теории мотивов году где-то в 2002 делился со мной мнением, что центральной задачей математики является гипотеза Римана о нулях дзета-функции. И более того, математика -- это такая конечная деятельность, которая закончится, когда будет доказана эта гипотеза и ее аналоги. Все равно никто не знает, чем нужно сейчас заниматься, чтобы это в итоге позволило приблизиться к доказательству гипотезы Римана.

[sasha-br.livejournal.com]

Кажется я догадываюсь кто этот специалист...

[sowa.livejournal.com]

Такое мнение разделяет не только этот специалист по теории мотивов. Я думаю, что тут в значительной степени сказывается сдвиг общественного внимания к решению конкретных старых проблем, подогреваемый выделяемыми миллионами баксов. О личных пристрастиях не стоит и говорить.

Не стоит и говорить, что, например, я этой точки зрения не разделяю. Более того, саму по себе гипотезу Римана я нахожу малоинтересной, и разделяю вместе Ю.И. Маниным (см. его недавнее интервью в "Троицком варианте") опасение, что она будет решена "неправильно" - и это неправильное решение будет малоинтересным. (Мы уже имеем блестящий пример неправильно решенной и не очень интересной самой по себе задачи - гипотезы Пуанкаре. Не говоря о гипотезе 4-х красок.)

С мой антиисторичной точки зрения, гипотеза Римана интересна тем, что она является аналогом гипотезы Вейля, доказанной Гротендиком-Делинем. Интересна не сама гипотеза Римана, а то, что она может стимулировать создание контекста, который будет включать и доказательство Гротендика-Делиня, и доказательство гипотезы Римана. Исследование этого контекста будет гораздо интереснее, чем гипотеза Римана, и, тем самым, с ее доказательством математика не закончится. Немного преувеличивая, можного сказать, что гипотеза Римана уже сыграла свою главную роль, стимулировав Вейля.

Если она будет доказана неправильно, то это направление, скорее всего, зачахнет, и (хорошие) математики будут заниматься другими задачами.

[posic.livejournal.com]

По-моему, дзета-функция (и ее аналоги) -- самый важный объект в математике, а гипотеза Римана (наряду с гипотезами о значениях в целых точках) -- соответственно, самая важная задача. Я не считаю, что с ее решением закончится математика, впрочем.

Беспокойство о том, что гипотезу Римана могут доказать неинтересным способом, озвучивает не только Манин. Если это произойдет, люди будут пытаться извлечь из неинтересного доказательства интересные идеи, преобразовать его в интересное доказательство. Если это не получится, направление может и зачахнуть, да. Что было бы очень жаль.

[sowa.livejournal.com]

Наше расхождение во взглядах любопытно, особенно если учесть, чем Вы сами занимаетесь. Может быть, Вы пытаетесь доказать гипотезу Римана, но это построннему не заметно.

Повторюсь, я считаю, что в математике нет самой важной задачи. Наиболее важной темой в современной математике я считаю развитие гомологических методов, понимаемых максимально широко. Интересная задача - не гипотеза Римана, а задача включения ее в этот контекст. Если бы я формулировал миллион-баксовые проблемы, я бы ее сформулировал в такой форме, так что просто решение бы не засчитывалось.

Я, честно, плохо понимаю (внеспортивный) интерес гипотезы Римана как утверждения о нулях дзета-функции, и совершенно не понимаю интереса эквивалентного утверждения о распределении простых чисел. Гипотезы о значениях L-функций кажутся мне гораздо более интересными. В том же духе, гипотеза Бейтмана-Хорна кажется мне интереснее гипотезы Римана, поскольку она включает в себя интересные константы.

Неинтересные доказательства почти по определению не преобразуются в интересные. Я бы с интересом познакомился с контпримером.

[posic.livejournal.com]

Так каждый человек же занимается не тем, что он считает самым важным в науке, а тем, во что он предполагает себя способным внести какой-то вклад из того, что он считает наиболее важным в науке. Или тем, во что он предполагает себя способным внести наибольший вклад из того, что считает сколько-нибудь важным в науке. Я занимался одно время тем, что считаю пусть не самой важной, но очень важной задачей: свойствами абсолютных групп Галуа. Преуспел в основном в изобретении ряда гипотез. Надеюсь еще вернуться к этой тематике.

[sowa.livejournal.com]

Получается, что на практике Ваше мнение о самой важной задаче не имеет заметного эффекта. В отличие от этого, в физике представления о самой важной задаче ведут к тому, что огромное число людей ей занимается. Более того, бывает и так, что в каком-то году некая подзадача считается самой важной, и "все" (цитата) ей и занимаются (источник - первоклассный физик). В свое время я был очень удивлен таким подходом к выбору задач.

[posic.livejournal.com]

Ну да, как говорят, физики ведут себя как бозоны, а математики как фермионы. То и другое имеет свои преимущества и недостатки. С одной стороны, наверно, неудобно, когда толпы народа бегают туда-сюда. Я бы так точно не мог; мне интересно сделать что-то такое, что без меня бы никто не сделал, или, по крайней мере, долго никто не сделал. С другой стороны, в результате физика, в пределе, разбивается на области, соответствующие классам явлений природы. А математика, в пределе, разбивается на области, соответствующие математикам, по одной на человека. Последние области, правда, слегка перекрываются; только это и спасает.

[sowa.livejournal.com]

"Я бы так точно не мог; мне интересно сделать что-то такое, что без меня бы никто не сделал, или, по крайней мере, долго никто не сделал."

Со мной точно так же.

"А математика, в пределе, разбивается на области, соответствующие математикам, по одной на человека. Последние области, правда, слегка перекрываются; только это и спасает."

А с этим я не согласен. Это, на мой взгляд, очень сильное преувеличение; даже области, в которых очевидно доминирующее влияние одного человека (обычно поначалу), быстро распространяются на довольно большую группу людей, и получающиеся большие области сильно перекрываются и взаимодействуют. Это, кстати, то, чего нет в физике - струны и конденсированное состояние, видимо, не взаимодействуют никак.

[posic.livejournal.com]

Связность этого графа (областей математики) велика, да. Связная компонента более-менее одна, фундаментальная группа большая. Но локальность сильно развита. Вершин очень много, а ребер выходит из каждой не так уж много.

[sowa.livejournal.com]

Я думаю, зависит от вершины. Мне кажется, чаще очень много, чем мало. Точнее, есть понятие core mathematics, ядро этого графа, которое неформально выделяется именно тем условием, что почти все вершины этого ядра связны с почти всеми остальными.

В этих терминах можно сформулировать и претензии к Семереди - очень далеко (по графу) от ядра, ребер очень мало.

[posic.livejournal.com]

Видимо, я пытаюсь объективизировать свое личное субъективное ощущение от количества и качества связей между тем, чем я непосредственно занимаюсь, и другими вопросами. Ощущение состоит в том, что моя узкая область существенным образом связана с, может быть, в лучшем случае, двумя десятками таких же маленьких кусочков самых разных других областей математики. Так что мне удается воспользоваться очень небольшой, но заранее непредсказуемой частью моего математического образования, и еще какая-то совсем небольшая, но заранее совершенно неизвестная часть моей математической необразованности мне, предположительно, сильно мешает.

[sowa.livejournal.com]

Мне трудно понять, какие кусочки Вы считаете за вершины. При делении, которое я бы выбрал, вершин было бы порядка ста, а двадцать было бы довольно большим количеством ребер.

[posic.livejournal.com]

Ну, моя узкая область -- это кошулева двойственность, маленький кусочек гомологической алгебры. Из скольких кусочков аналогичного размера состоит математика? Мне кажется, примерно по числу математиков. Кошулева двойственность играет определенную роль в гомотопической топологии (она, собственно, и есть двойственность между гомотопиями и когомологиями), но больших проблем гомотопической топологии эти соображения не решают. Кошулева двойственность играет какую-то роль в теории представлений, но тоже, кажется, не решает там больших проблем. Кошулевость предположительно встречается в когомологиях Галуа и теории мотивов, но это все гипотезы, доказывать которые она не помогает, и в любом случае только фрагмент большой картины. Кошулева двойственность связана с полубесконечными когомологиями, циклическими когомологиями, D-модулями, проективной алгебраической геометрией, одной задачей теории вероятностей, и так далее. Вряд ли так наберется больше, чем двадцать связей.

[sowa.livejournal.com]

Связи - это не обязательно решения проблем.

Мне кажется, Вы выбрали слишком маленький кусочек. Собственно, Вы берете в качестве определения то, что Вы хотели аргументировать - что математика распадается на куски, соответствующие отдельным математикам. Можно было бы разбить ее на куски, соответствующие отдельным математикам в определенные периоды их работы - интересы меняются. Или просто на работы (считая циклы связанных работ за одну). Граф превратиться практически в граф ссылок, и он будет очень связным.

И даже для этого маленького кусочка Вы нашли массу связей, как с маленькими кусочками (полубесконечные когомологии, видимо), так и со среднего размера (циклические когомологии, D-модули), и даже с огромным куском (проективная алгебраическая геометрия).

[posic.livejournal.com]

Насчет Гамильтона-Перельмана я не согласен, впрочем. По-моему, гипотеза геометризации -- интересная задача, а поток Риччи -- красивая идея. Гипотеза 4-х красок менее интересна, да, а компьютерное доказательство ее так и вовсе почти бесполезно.

[sowa.livejournal.com]

Обратите внимание - я сказал, что гипотеза Пуанкаре, а не гипотеза геометризации - неинтересная задача. Поток Риччи - тупая лобовая идея, к сожалению, она, видимо, работает. Сожаление такое же, как потенциальное сожаление Манина. Доказательство Терстона теоремы геометризации Терстона - на пару порядков глубже и интереснее, чем предполагаемое доказательство Перельманом его гипотезы (насколько я понимаю, доказательство гипотезы геометризации приведено в порядок в гораздо меньшей степени, чем доказателсьтво гипотезы Пунакаре).

Наконец, можно привести аргументы (это делал и сам Терстон) в пользу того, что и гипотеза геометризации - не очень важная задача, а для трехмерной топологии, эзотерического предмета, к которому она, на первый взгляд, относится, эта задача практически (именно практически) irrelevant. В противоположность этому, открытия Терстона конца 70-х годов, которые и привели к формулировке его гипотезы - фантастически красивая и полностью неожиданная математика.