Самая непонятная вещь в гомологической алгебре

[posic]

это знаки -- в смысле, все эти минус один в степени и так далее. Не даром сам великий Д. об этих знаках писал не раз. Надо бы почитать, все никак не соберусь.

Comments

[mikhandr.livejournal.com]

Меня это в конце концов привело к симплициальным объектам и методам. Проблема в том, что там много игры в бисер.

[posic.livejournal.com]

Моя проблема с симплициальными объектами в том, что я не понимаю, в чем их смысл. Чем так замечательна эта категория \Delta, нельзя ли другую какую-нибудь категорию на ее место поставить? Комплекс, все-таки, естественное понятие, хотя и принадлежащее супермиру (дифференциал -- нечетный оператор), откуда и знаки. А что вы имеете в виду, говоря об игре в бисер?

[mikhandr.livejournal.com]

\Delta хороша тем, что задание симплициального (косимплициального) объекта категории X равносильно заданию контравариантного (ковариантного) функтора F: \Delta -->X, а задание отображений симплициальных (косимплициальных) объектов равносильно заданию естественного преобразования функторов. Симплициальный объект - это обобщение обычного симплициального комплекса, а все знаки получаются из задания ориентации. (например: Гельфанд, Манин)
Вышеуказанные авторы обращают также внимание на тот факт, что смысл симплициальных объектов например ещё и в том, что они позволяют на комбинаторном языке описывать топологию.
Возможно не совсем удачно, но наглядно можно провести такую аналогию: если хочешь построить холодильник, то достаточно работать с формулой Клапейрона, если надо рассчитывать запуск ракеты, то надо знать распределение Максвела. Есть задачи, где лучше о симплициальных методах не вспоминать вообще, а вот гомотопических теорий без них особо не построишь.
Под игрой в бисер я понимаю комбинаторику. :-)

[mikhandr.livejournal.com]

Есть эффектное предисловие переводчика (Постникова) в старой читанной и перечитанной, но хорошей книге Габриеля и Цисмана.
Современное состояние предмета, правда с точки зрения моих интересов, можно найти в монографии Инассаридзе "Nonabelian homological algebra and its applications".

[posic.livejournal.com]

Спасибо.

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

Предисловие Постникова устарело ещё до свеого появления.
Постников пишет про удивительную аналогию, но уже в 1967 года, за 4 года до этого
Квиллен опубликовал свою знаменитую книгу, и в ней было доказано,
что модельная категория топологических пространств эквивалентна по Квиллену
модельной категории симплициальных множеств. А поскольку
алгебраическая топология — это и есть модельные категории,
ничего удивительного в том, что наблюдается аналогии между
симплициальными множествами и топологическими пространствами нет.
Никакие это, конечно, не аналогии, а частные случаи общей конструкции.

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

Современное состояние предмета (науки о симплициальных множествах)
описывается в книге Goerss, Jardine, Simplicial Homotopy Theory.
Найти её можно здесь: http://dodo.pdmi.ras.ru/~topology/books/
В книжке Хови по модельным категориям (лежит там же) в главе 5 рассматривается
общая теория симплициальных и косимплициальных оснащений для
любой модельной категории.
Как я могу судить после беглого просмотра реферата MathSciNet,
то, что написано у Инассаридзе является частным случаем.
(Хотя я могу ошибаться.)

[mikhandr.livejournal.com]

Я практически во всём формально с вами согласен, и книга GJ "настольная" :-).

Правда мы вот пытались понять феномен знаков в гомологической алгебре, а модельная категория врядле этому способствует ;-).

{Кстати, сам Квиллен (уже через 4 года уже после "этого"!) сказал, что модельные категории не нужны (простите за резкость). Можно строить теорию гомотопий и на другой аксиоматической базе см. например Baues "Algebraic Homotopy". Принимая удобство понятия модельных категорий для алгебраизации геометрических задач, считаю, что ваши замечания лежат в иной плоскости по отношению к той, в которой лежит феномен знаков.}

Что касается Инассаридзе, то, возвращаясь к Квиллену и праотцам понятия гомологии вообще, принимается точка зрения, что группы гомологий- это объекты самой категории, т.е. гомологии группы- это группы, гомологии узлов- узлы, гомологии топологических пространств- топологические пространства и т.д.(если в архаичном смысле, то абелианизированные). Работа Инассаридзе преследует цель развивать гомологии без абелианизации, но тогда в нашем распоряжении (для вычислений) остаются только свободные симплициальные резольвенты и различные производные функторы на них. Такой формат развития гомологической алгебры, как говорят, по личным беседам, видел и так вами любимый Квиллен. Ещё, и для примера, в своём 600-ста страничном письме в адрес Квиллена Гротендик гениально подмечает, что фундаментальные группы сфер суть какие-то коммутаторные тождества, и это действительно недавно было осознано благодаря работам Ву и Эллиса, т.е. фундаментальные группы сфер- суть неабелевы производные от функтора Lie- а вот ЭТО уже ДЕЙСТВИТЕЛЬНО НОВАЯ МАТЕМАТИКА!!!

Хочу заступиться за Постникова, хоть он в этом и не нуждается!:-)
Феномен симмплициальности математики, а оказывается и логики в целом, далёк, во всяком случае для меня, от понимания. На этом пути пока сделаны только самые первые шаги, см., например, статьи R. Brown и T.Porter о неабелевой математике, нейронауке и феномене мышления в целом http://www.bangor.ac.uk/~mas010/, т.е. дельта видимо хороша тем, что само математическое мышление как-то построено на дельте. (вот например, следствие 4.3. стр.84 из книги с устаревшим предисловием ;-))

Поэтому позвольте присоединиться к посылке Леонида, только в усиленном виде: "Самая непонятная вещь в математике."

P.S.Будет очень интересно, мне кажется и Леониду тоже :-), какой станет теория чисел, когда полностью мотивизируют гомотопии и этальные когомологии.

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

>Феномен симмплициальности математики, а оказывается и логики в целом, далёк, во всяком случае для меня, от понимания.

В математике очень много феноменов, далёких
от понимание. Многие из них встречаются не реже,
чем симплициальные множества. Поэтому не очень
понятно, почему последним должно уделяться
особое внимание.

>На этом пути пока сделаны только самые первые шаги, см., например, статьи R. Brown и T.Porter о неабелевой математике, нейронауке и феномене мышления в целом http://www.bangor.ac.uk/~mas010/, т.е. дельта видимо хороша тем, что само математическое мышление как-то построено на дельте.

Звучит крайне подозрительно, особенно про нейронауку.
А какие именно статьи?

>(вот например, следствие 4.3. стр.84 из книги с устаревшим предисловием ;-))

Этот факт уже давно обсосан и разобран.
Почитайте, например, книгу Lurie «Higher Topos Theory». Там это развивается дальше.

[mikhandr.livejournal.com]

"В математике очень много феноменов, далёких
от понимание. Многие из них встречаются не реже,
чем симплициальные множества. Поэтому не очень
понятно, почему последним должно уделяться
особое внимание."

Я уже писал, хочется разобраться в кой каких гомологиях.

"Этот факт уже давно обсосан и разобран.
Почитайте, например, книгу Lurie «Higher Topos Theory». Там это развивается дальше."

И вы тоже к этому доктору отсылаете... А он (Lurie) ведь сразу хочет провести операцию на головном мозге. :-)

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

>Я уже писал, хочется разобраться в кой каких гомологиях.

Допустим. Но как из этого следует, что симплициальный феномен важнее (непонятнее) всех остальных, я не понимаю.

Книга Lurie очень понятно написана и легко читается.

[mikhandr.livejournal.com]

Стоп.
Важнее и непонятнее вещи совершенно разные.
А непонятнее- это категория субъективная.

"Книга Lurie очень понятно написана и легко читается."
Эх, кто бы объяснил её содержание без прочтения 600 страниц.
Есть ли где-нибудь покороче насчёт Cat и Delta0Set?

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

>Важнее и непонятнее вещи совершенно разные
Не очень понятно, в каком смысле симплициальные
феномены являются самыми непонятными,
если, как я уже сказал, мы их довольно хорошо понимаем.

>А непонятнее- это категория субъективная.
Как и важность.

>Эх, кто бы объяснил её содержание без прочтения 600 страниц.

Прочитайте введение.

>Есть ли где-нибудь покороче насчёт Cat и Delta0Set?

Это стандартная конструкция, называется нерв категории.
Её описание есть где угодно. В той же книге Lurie она разъясняется коротко и ясно (первая глава).
Смотрите также
http://golem.ph.utexas.edu/category/2008/01/geometric_representation_theor_18.html

[mikhandr.livejournal.com]

Ок, посмотрю.

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

>Правда мы вот пытались понять феномен знаков в гомологической алгебре, а модельная категория врядле этому способствует ;-).

Модельные категории этому очень даже способствуют, ибо
теорема Дольда-Кана говорит нам, что категория симплициальных
абелевых групп эквивалентна категории комплексов абелевых групп.

А все знаки на комплексах, как известно, вытекают из моноидальной
структуры на них.

[mikhandr.livejournal.com]

"А все знаки на комплексах, как известно, вытекают из моноидальной
структуры на них."
Это вы о чём?

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

Уточнение: из симметрической моноидальной структуры.
На комплексах есть моноидальная структура — градуированное тензорное произведение.
На этой моноидальной структуре есть
различные сплетения (braiding).
Например, можно просто переставлять компоненты. Это не интеренсно.
А можно переставлять компоненты, и в случае, если обе они нечётные, менять знак.
Это сплетение является симметричным, и из получающейся
симметричной моноидальной структуры вылезает вся алгебра.

[mikhandr.livejournal.com]

Спасибо, попробую разобраться.

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

{Кстати, сам Квиллен (уже через 4 года уже после "этого"!) сказал, что модельные категории не нужны (простите за резкость). Можно строить теорию гомотопий и на другой аксиоматической базе см. например Baues "Algebraic Homotopy". Принимая удобство понятия модельных категорий для алгебраизации геометрических задач, считаю, что ваши замечания лежат в иной плоскости по отношению к той, в которой лежит феномен знаков.}

Можно, а нужно ли? Модельные категории сейчас проникают
во все области математики, а где удалось применить подход Bauesa?

[mikhandr.livejournal.com]

"..а где удалось применить подход Bauesa?"

..там же, он определяет кофибрантные категории и строит аналогичную науку.

"Можно, а нужно ли?"

Это покажет время. :-)

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

Время уже всё показало — уже прошло больше 40 лет, и сейчас
модельные категории используются везде.

[mikhandr.livejournal.com]

А через 20 лет кто-то возможно напишет тоже самое о кофибрантных категориях. ;-)

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

Всё может быть. Но пока применений не видно.

[mikhandr.livejournal.com]

Вопрос в том, выдержит ли страница posic или её автор наш диспут?
В любом случае, можете прямо у меня писать! :-)

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

Такое объяснение не отвечает на первоначальный вопрос:
>Чем так замечательна эта категория \Delta, нельзя ли другую какую-нибудь категорию на ее место поставить?

Например, так сразу неясно, почему в Δ нет пустого множества, почему морфизмы там могут быть любыми, а не только инъективными, и так далее.

[mikhandr.livejournal.com]

Вот Ыменна!
Если не вспомнить о симплициальных комплексах, как это сделано у мудрых -Гельфанда и Манина.

[mikhandr.livejournal.com]

... в первой главе.

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

Если вспомнить о симплициальных комплексах (а не множествах),
то как раз совершенно непонятно, почему Δ должна быть такой.
Для симплициальных комплексов достаточно инъективных морфизмов.

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

>Под игрой в бисер я понимаю комбинаторику. :-)

Это смотря как излагать предмет.
Раньше всё делали в терминах операторов грани и вырождения,
а сейчас от этого во многом отказались и подавляющая
часть комбинаторики пропала.

[mikhandr.livejournal.com]

Что, и прямое произведение можно триангулировать без комбинаторики?
Научите...

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

Да, конечно. Категорное прямое произведение в категории
симплициальных множеств берётся покомпонентно.

Вот, кстати, вам пример, почему в категории Δ
должны быть все монотонные отображения, а не только
инъективные.

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

>Комплекс, все-таки, естественное понятие, хотя и принадлежащее супермиру (дифференциал -- нечетный оператор), откуда и знаки.

Но ведь комплексы родились как раз из симплициальных множеств.
Как иначе объяснить загадочное уравнение d^2=0?

[posic.livejournal.com]

Это верно исторически, и то лишь отчасти (комплекс де Рама вот не происходит из симплициального множества). Но d^2 -- это самое естественное из уравнений для нечетного эндоморфизма. Оператор, так сказать, коммутирует сам с собой.

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

>Оператор, так сказать, коммутирует сам с собой.
А что делать с характеристикой два?

И потом, можно записать много естественных уравнений.
Почему именно это приводит к интересным результатам?

[posic.livejournal.com]

А что делать с характеристикой два?

То же самое. Возможность возведения нечетных элементов в квадрат -- часть структуры супералгебры Ли в характеристике два. "Коммутирует с собой" правильно понимать именно как "квадрат равен нулю".

И потом, можно записать много естественных уравнений.

Не уверен.