Очень плоские модули (над коммутативным кольцом)

Пусть R -- коммутативное кольцо. R-модуль C называется контраприспособленным, если Ext_R¹(R[r⁻¹], C) = 0 для всех r∈R. Класс контраприспособленных модулей замкнут относительно расширений и перехода к фактормодулям (по любым подмодулям).

R-модуль F называется очень плоским, если Ext_R¹(F,C) = 0 для любого контраприспособленного R-модуля C, или, что эквивалентно, Ext_Rⁱ(F,C) = 0 для любого контраприспособленного R-модуля C и любого целого i > 0. Класс очень плоских модулей замкнут относительно расширений и перехода к ядрам сюръективных морфизмов (между очень плоскими модулями). Проективная размерность очень плоского модуля не превышает 1 (т.к. Ext из очень плоского модуля в произвольный можно вычислять с помощью двучленной контраприспособленной резольвенты последнего).

Лемма (см. P. Eklof, J. Trlifaj "How to make Ext vanish", Bull. London Math. Soc. 33 #1, 2001, http://blms.oxfordjournals.org/content/33/1/41.abstract , Lemma 1): объединение непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с очень плоскими присоединенными факторами, является очень плоским R-модулем.

Теорема (см. loc. cit., Theorem 2): любой R-модуль M можно вложить в контраприспособленный R-модуль C так, что фактормодуль C/M является объединением непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с присоединенными факторами вида R[r⁻¹], где r пробегает R.

Следствие (см. loc. cit., вторая половина доказательства Theorem 10): любой R-модуль M можно представить как фактормодуль R-модуля F, являющегося объединением непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с присоединенными факторами вида R[r⁻¹], по контраприспособленному подмодулю C ⊂ F.

Следствие: любой очень плоский R-модуль является прямым слагаемым объединения непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с присоединенными факторами вида R[r⁻¹]. Доказательство: представить очень плоский R-модуль P в виде фактормодуля R-модуля F описанного вида по контраприспособленному подмодулю C ⊂ F, и вспомнить, что Ext_R¹(P,C) = 0 по определению.

Вопрос: является ли всякий плоский R-модуль проективной размерности 1 очень плоским? Оба класса обладают свойствами замкнутости относительно операций трансфинитно-итерированного расширения и перехода к ядру сюръекции, описанными выше.

Категория контрамодулей над плоским кокольцом неабелева

Нетрудно показать, что категория левых комодулей над кокольцом C над кольцом A абелева и при этом одновременно забывающий функтор C-comod → A-mod точен тогда и только тогда, когда C плоский правый A-модуль. Аналогично, категория левых контрамодулей над кокольцом C над кольцом A абелева и при этом забывающий функтор C-contra → A-mod точен тогда и только тогда, когда C -- проективный левый A-модуль.

Что будет, если не накладывать условие точности забывающего функтора? Может ли все-таки категория комодулей над неплоским кокольцом оказаться абелевой? Я не знаю ответа в общем случае, но вот один контрпример.

Рассмотрим кокольцо C над кольцом целых чисел A = Z с компонентами C₁₁ = C₂₂ = Z и C₁₂ = Z/l (с очевидным коумножением C_ik → C_ij ⊗_A C_jk -- верхнетреугольное матричное кокольцо такое). Тогда левые C-комодули -- это пары абелевых групп (M₁, M₂), снабженных гомоморфизмом M₁ → M₂/l.

Рассмотрим C-комодуль M = (M₁, M₂) с M₁ = Z, M₂ = Z/l, и сюръективным отображением M₁ → M₂/l. Далее, пусть N = (N₁, N₂) -- C-комодуль с N₁ = 0 и N₂ = Z/l². Тогда имеется гомоморфизм C-комодулей M → N, действующий на компонентах M₂ → N₂ отображением вложения Z/l → Z/l².

Тогда ядром гомоморфизма С-комодулей M → N является комодуль (lZ,0), коядром ядра -- комодуль (Z/l, Z/l) (с изоморфизмом Z/l → (Z/l)/l). Коядром морфизма M → N является комодуль (0,Z/l), и ядром коядра -- комодуль (0,Z/l).

Вот аналогичный контрпример для контрамодулей. Рассмотрим кокольцо C над кольцом A = Z с компонентами C₁₁ = C₂₂ = Z и C₁₂ = Q. Тогда левые C-комодули -- это пары абелевых групп (P₁, P₂), снабженных гомоморфизмом Hom_Z(Q,P₁) → P₂.

Рассмотрим C-контрамодули P = (Z^⊕∞, 0) и Q = (Q, Q), с отображением Hom_Z(Q,Q) → Q, являющимся изоморфизмом. Тогда имеется гомоморфизм C-контрамодулей P → Q, действующий на компонентах P₁ → Q₁ сюръективным отображением Z^⊕∞ → Q.

Пусть K -- ядро последнего гомоморфизма (абелевых групп). Тогда ядром гомоморфизма C-контрамодулей P → Q является контрамодуль (K,0), а коядром ядра -- контрамодуль (Q,0). Коядром гомоморфизма C-контрамодулей P → Q является контрамодуль (0,0) (т.е., гомоморфизм P → Q является эпиморфизмом в категории C-контрамодулей), а ядром коядра, соответственно, контрамодуль Q = (Q, Q).

Точная категория A-контраприспособленных С-контрамодулей имеет допустимые коядра?

Пусть C -- кокольцо над кольцом A, являющееся плоским левым и правым A-модулем. Предположим, что левые A-модули C и C⊗_AC имеют проективную размерность ≤ 1. Будем называть A-модуль R контраприспособленным, если Ext_A¹(C,R) = 0 = Ext_A¹(C⊗_AC, R). Очевидно, класс контраприспособленных A-модулей замкнут относительно расширений и перехода к фактормодулю (по любому подмодулю). Поэтому контраприспособленные A-модули образуют точную категорию (с допустимыми коядрами, как легко видеть).

Левые C-контрамодули с контраприспособленными подлежащими A-модулями образуют точную категорию, в которой тройка C-контрамодулей точна тогда и только тогда, когда она точна в категории (контраприспособленных) A-модулей. Если морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей, рассматриваемый как морфизм A-модулей, имеет A-контраприспособленное ядро, то индуцированная структура C-контрамодуля на нем делает его ядром этого морфизма в категории A-контраприспособленных C-контрамодулей. Любой инъективный морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей является допустимым мономорфизмом. Сюръективный морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей является допустимым эпиморфизмом тогда и только тогда, когда его ядро как морфизма A-модулей контраприспособлено.

Нашей целью является доказательство того, что любой морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей P → Q имеет коядро R в аддитивной категории A-контраприспособленных C-контрамодулей, причем морфизм Q → R является допустимым эпиморфизмом. Фактически, рассматриваемый как A-модуль, R будет неким фактормодулем коядра морфизма P → Q, взятого в категории A-модулей.

Пусть K -- ядро, I -- образ, и S -- коядро морфизма A-модулей P → Q. Тогда A-модули I и S контраприспособлены. Отсюда точные последовательности 0 → Hom_A(C,K) → Hom_A(C,P) → Hom_A(C,I) → Ext_A¹(C,K) → 0 и 0 → Hom_A(C,I) → Hom_A(C,Q) → Hom_A(C,S) → 0, из которых мы получаем точную последовательность 0 → Ext_A¹(C,K) → Hom_A(C,Q)/im Hom_A(C,P) → Hom_A(C,S) → 0.

Обозначим через R расслоенное копроизведение морфизмов A-модулей Hom_A(C,Q)/im Hom_A(C,P) → Q/im P = S и Hom_A(C,Q)/im Hom_A(C,P) → Hom_A(C,S) (первый из которых индуцирован отображениями C-контрадействия в P и Q). Тогда имеется точная последовательность A-модулей Ext_A¹(C,K) → S → R → 0. Эквивалентным образом, можно определить R как коядро морфизма контрадействия Hom_A(C,I) → Q.

Из этих описаний ясно, что морфизм Q → R (как и морфизм S → R) сюръективный с контраприспособленным ядром, и имеется естественное отображение Hom_A(C,S) → R. Вопрос в том, факторизуется ли это отображение через Hom_A(C,R). Ясно, что композиция Hom_A(C,Hom_A(C,I)) → Hom_A(C,S) → R равна нулю. Проблема в том, как показать, что сюръективное отображение из Hom_A(C,I) на ядро морфизма S → R или Q → R остается сюръективным после применения функтора Hom_A(S,−).

... На самом деле, из этих рассуждений видно, что коядро морфизма P → Q существует в категории A-контраприспособленных C-контрамодулей и отображение в него из C-контрамодуля Q сюръективно как морфизм A-модулей. Чтобы построить такое коядро, надо трансфинитно итерировать конструкцию перехода к все меньшему фактормодулю, описанную выше. Что неясно, так это будет ли ядро морфизма из Q в полученный таким образом контрамодуль контраприспособленным A-модулем. Вряд ли класс контраприспособленных A-модулей замкнут относительно бесконечных объединений.

Промежуточные итоги

Математические постинги, так или иначе связанные с контрагерентными копучками, вылавливаются по тегу math6 (24 штуки за две с небольшим недели). На нынешний момент:

- удалось доказать ко-контра соответствие над аффинной нетеровой формальной схемой;
- судя по всему, удается сделать то же самое над регулярной отделимой нетеровой схемой (конечной размерности Крулля);
- есть надежда, что на основе имеющихся идей получится сделать то же самое над отделимой нетеровой схемой с дуализирующим комплексом;
- пока что не удается научиться работать с копучками контрамодулей над неаффинными нетеровыми формальными схемами;
- не удалось получить разумную абелеву категорию "контрагерентных квазикопучков" из точной категории контрагерентных копучков на неаффинной схеме.

Если сформулированная в среднем пункте выше надежда осуществится, можно будет написать статейку с заголовком типа Contraherent cosheaves и формулировкой цели типа In this paper we make initial steps towards a construction of the derived comodule-contramodule correspondence over a Noetherian formal scheme applicable to a reasonably large geometric category of module objects on the contra side.