![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть C -- кокольцо над кольцом A, являющееся плоским левым и правым A-модулем. Предположим, что левые A-модули C и C⊗AC имеют проективную размерность ≤ 1. Будем называть A-модуль R контраприспособленным, если ExtA1(C,R) = 0 = ExtA1(C⊗AC, R). Очевидно, класс контраприспособленных A-модулей замкнут относительно расширений и перехода к фактормодулю (по любому подмодулю). Поэтому контраприспособленные A-модули образуют точную категорию (с допустимыми коядрами, как легко видеть).
Левые C-контрамодули с контраприспособленными подлежащими A-модулями образуют точную категорию, в которой тройка C-контрамодулей точна тогда и только тогда, когда она точна в категории (контраприспособленных) A-модулей. Если морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей, рассматриваемый как морфизм A-модулей, имеет A-контраприспособленное ядро, то индуцированная структура C-контрамодуля на нем делает его ядром этого морфизма в категории A-контраприспособленных C-контрамодулей. Любой инъективный морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей является допустимым мономорфизмом. Сюръективный морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей является допустимым эпиморфизмом тогда и только тогда, когда его ядро как морфизма A-модулей контраприспособлено.
Нашей целью является доказательство того, что любой морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей P → Q имеет коядро R в аддитивной категории A-контраприспособленных C-контрамодулей, причем морфизм Q → R является допустимым эпиморфизмом. Фактически, рассматриваемый как A-модуль, R будет неким фактормодулем коядра морфизма P → Q, взятого в категории A-модулей.
Пусть K -- ядро, I -- образ, и S -- коядро морфизма A-модулей P → Q. Тогда A-модули I и S контраприспособлены. Отсюда точные последовательности 0 → HomA(C,K) → HomA(C,P) → HomA(C,I) → ExtA1(C,K) → 0 и 0 → HomA(C,I) → HomA(C,Q) → HomA(C,S) → 0, из которых мы получаем точную последовательность 0 → ExtA1(C,K) → HomA(C,Q)/im HomA(C,P) → HomA(C,S) → 0.
Обозначим через R расслоенное копроизведение морфизмов A-модулей HomA(C,Q)/im HomA(C,P) → Q/im P = S и HomA(C,Q)/im HomA(C,P) → HomA(C,S) (первый из которых индуцирован отображениями C-контрадействия в P и Q). Тогда имеется точная последовательность A-модулей ExtA1(C,K) → S → R → 0. Эквивалентным образом, можно определить R как коядро морфизма контрадействия HomA(C,I) → Q.
Из этих описаний ясно, что морфизм Q → R (как и морфизм S → R) сюръективный с контраприспособленным ядром, и имеется естественное отображение HomA(C,S) → R. Вопрос в том, факторизуется ли это отображение через HomA(C,R). Ясно, что композиция HomA(C,HomA(C,I)) → HomA(C,S) → R равна нулю. Проблема в том, как показать, что сюръективное отображение из HomA(C,I) на ядро морфизма S → R или Q → R остается сюръективным после применения функтора HomA(S,−).
... На самом деле, из этих рассуждений видно, что коядро морфизма P → Q существует в категории A-контраприспособленных C-контрамодулей и отображение в него из C-контрамодуля Q сюръективно как морфизм A-модулей. Чтобы построить такое коядро, надо трансфинитно итерировать конструкцию перехода к все меньшему фактормодулю, описанную выше. Что неясно, так это будет ли ядро морфизма из Q в полученный таким образом контрамодуль контраприспособленным A-модулем. Вряд ли класс контраприспособленных A-модулей замкнут относительно бесконечных объединений.
Левые C-контрамодули с контраприспособленными подлежащими A-модулями образуют точную категорию, в которой тройка C-контрамодулей точна тогда и только тогда, когда она точна в категории (контраприспособленных) A-модулей. Если морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей, рассматриваемый как морфизм A-модулей, имеет A-контраприспособленное ядро, то индуцированная структура C-контрамодуля на нем делает его ядром этого морфизма в категории A-контраприспособленных C-контрамодулей. Любой инъективный морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей является допустимым мономорфизмом. Сюръективный морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей является допустимым эпиморфизмом тогда и только тогда, когда его ядро как морфизма A-модулей контраприспособлено.
Нашей целью является доказательство того, что любой морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей P → Q имеет коядро R в аддитивной категории A-контраприспособленных C-контрамодулей, причем морфизм Q → R является допустимым эпиморфизмом. Фактически, рассматриваемый как A-модуль, R будет неким фактормодулем коядра морфизма P → Q, взятого в категории A-модулей.
Пусть K -- ядро, I -- образ, и S -- коядро морфизма A-модулей P → Q. Тогда A-модули I и S контраприспособлены. Отсюда точные последовательности 0 → HomA(C,K) → HomA(C,P) → HomA(C,I) → ExtA1(C,K) → 0 и 0 → HomA(C,I) → HomA(C,Q) → HomA(C,S) → 0, из которых мы получаем точную последовательность 0 → ExtA1(C,K) → HomA(C,Q)/im HomA(C,P) → HomA(C,S) → 0.
Обозначим через R расслоенное копроизведение морфизмов A-модулей HomA(C,Q)/im HomA(C,P) → Q/im P = S и HomA(C,Q)/im HomA(C,P) → HomA(C,S) (первый из которых индуцирован отображениями C-контрадействия в P и Q). Тогда имеется точная последовательность A-модулей ExtA1(C,K) → S → R → 0. Эквивалентным образом, можно определить R как коядро морфизма контрадействия HomA(C,I) → Q.
Из этих описаний ясно, что морфизм Q → R (как и морфизм S → R) сюръективный с контраприспособленным ядром, и имеется естественное отображение HomA(C,S) → R. Вопрос в том, факторизуется ли это отображение через HomA(C,R). Ясно, что композиция HomA(C,HomA(C,I)) → HomA(C,S) → R равна нулю. Проблема в том, как показать, что сюръективное отображение из HomA(C,I) на ядро морфизма S → R или Q → R остается сюръективным после применения функтора HomA(S,−).
... На самом деле, из этих рассуждений видно, что коядро морфизма P → Q существует в категории A-контраприспособленных C-контрамодулей и отображение в него из C-контрамодуля Q сюръективно как морфизм A-модулей. Чтобы построить такое коядро, надо трансфинитно итерировать конструкцию перехода к все меньшему фактормодулю, описанную выше. Что неясно, так это будет ли ядро морфизма из Q в полученный таким образом контрамодуль контраприспособленным A-модулем. Вряд ли класс контраприспособленных A-модулей замкнут относительно бесконечных объединений.
