![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть R -- коммутативное кольцо. R-модуль C называется контраприспособленным, если ExtR1(R[r−1], C) = 0 для всех r∈R. Класс контраприспособленных модулей замкнут относительно расширений и перехода к фактормодулям (по любым подмодулям).
R-модуль F называется очень плоским, если ExtR1(F,C) = 0 для любого контраприспособленного R-модуля C, или, что эквивалентно, ExtRi(F,C) = 0 для любого контраприспособленного R-модуля C и любого целого i > 0. Класс очень плоских модулей замкнут относительно расширений и перехода к ядрам сюръективных морфизмов (между очень плоскими модулями). Проективная размерность очень плоского модуля не превышает 1 (т.к. Ext из очень плоского модуля в произвольный можно вычислять с помощью двучленной контраприспособленной резольвенты последнего).
Лемма (см. P. Eklof, J. Trlifaj "How to make Ext vanish", Bull. London Math. Soc. 33 #1, 2001, http://blms.oxfordjournals.org/content/33/1/41.abstract , Lemma 1): объединение непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с очень плоскими присоединенными факторами, является очень плоским R-модулем.
Теорема (см. loc. cit., Theorem 2): любой R-модуль M можно вложить в контраприспособленный R-модуль C так, что фактормодуль C/M является объединением непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с присоединенными факторами вида R[r−1], где r пробегает R.
Следствие (см. loc. cit., вторая половина доказательства Theorem 10): любой R-модуль M можно представить как фактормодуль R-модуля F, являющегося объединением непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с присоединенными факторами вида R[r−1], по контраприспособленному подмодулю C ⊂ F.
Следствие: любой очень плоский R-модуль является прямым слагаемым объединения непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с присоединенными факторами вида R[r−1]. Доказательство: представить очень плоский R-модуль P в виде фактормодуля R-модуля F описанного вида по контраприспособленному подмодулю C ⊂ F, и вспомнить, что ExtR1(P,C) = 0 по определению.
Вопрос: является ли всякий плоский R-модуль проективной размерности 1 очень плоским? Оба класса обладают свойствами замкнутости относительно операций трансфинитно-итерированного расширения и перехода к ядру сюръекции, описанными выше.
R-модуль F называется очень плоским, если ExtR1(F,C) = 0 для любого контраприспособленного R-модуля C, или, что эквивалентно, ExtRi(F,C) = 0 для любого контраприспособленного R-модуля C и любого целого i > 0. Класс очень плоских модулей замкнут относительно расширений и перехода к ядрам сюръективных морфизмов (между очень плоскими модулями). Проективная размерность очень плоского модуля не превышает 1 (т.к. Ext из очень плоского модуля в произвольный можно вычислять с помощью двучленной контраприспособленной резольвенты последнего).
Лемма (см. P. Eklof, J. Trlifaj "How to make Ext vanish", Bull. London Math. Soc. 33 #1, 2001, http://blms.oxfordjournals.org/content/33/1/41.abstract , Lemma 1): объединение непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с очень плоскими присоединенными факторами, является очень плоским R-модулем.
Теорема (см. loc. cit., Theorem 2): любой R-модуль M можно вложить в контраприспособленный R-модуль C так, что фактормодуль C/M является объединением непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с присоединенными факторами вида R[r−1], где r пробегает R.
Следствие (см. loc. cit., вторая половина доказательства Theorem 10): любой R-модуль M можно представить как фактормодуль R-модуля F, являющегося объединением непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с присоединенными факторами вида R[r−1], по контраприспособленному подмодулю C ⊂ F.
Следствие: любой очень плоский R-модуль является прямым слагаемым объединения непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с присоединенными факторами вида R[r−1]. Доказательство: представить очень плоский R-модуль P в виде фактормодуля R-модуля F описанного вида по контраприспособленному подмодулю C ⊂ F, и вспомнить, что ExtR1(P,C) = 0 по определению.
Вопрос: является ли всякий плоский R-модуль проективной размерности 1 очень плоским? Оба класса обладают свойствами замкнутости относительно операций трансфинитно-итерированного расширения и перехода к ядру сюръекции, описанными выше.
