![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть R -- коммутативное кольцо. R-модуль C называется контраприспособленным, если ExtR1(R[r−1], C) = 0 для всех r∈R. Класс контраприспособленных модулей замкнут относительно расширений и перехода к фактормодулям (по любым подмодулям).
R-модуль F называется очень плоским, если ExtR1(F,C) = 0 для любого контраприспособленного R-модуля C, или, что эквивалентно, ExtRi(F,C) = 0 для любого контраприспособленного R-модуля C и любого целого i > 0. Класс очень плоских модулей замкнут относительно расширений и перехода к ядрам сюръективных морфизмов (между очень плоскими модулями). Проективная размерность очень плоского модуля не превышает 1 (т.к. Ext из очень плоского модуля в произвольный можно вычислять с помощью двучленной контраприспособленной резольвенты последнего).
Лемма (см. P. Eklof, J. Trlifaj "How to make Ext vanish", Bull. London Math. Soc. 33 #1, 2001, http://blms.oxfordjournals.org/content/33/1/41.abstract , Lemma 1): объединение непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с очень плоскими присоединенными факторами, является очень плоским R-модулем.
Теорема (см. loc. cit., Theorem 2): любой R-модуль M можно вложить в контраприспособленный R-модуль C так, что фактормодуль C/M является объединением непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с присоединенными факторами вида R[r−1], где r пробегает R.
Следствие (см. loc. cit., вторая половина доказательства Theorem 10): любой R-модуль M можно представить как фактормодуль R-модуля F, являющегося объединением непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с присоединенными факторами вида R[r−1], по контраприспособленному подмодулю C ⊂ F.
Следствие: любой очень плоский R-модуль является прямым слагаемым объединения непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с присоединенными факторами вида R[r−1]. Доказательство: представить очень плоский R-модуль P в виде фактормодуля R-модуля F описанного вида по контраприспособленному подмодулю C ⊂ F, и вспомнить, что ExtR1(P,C) = 0 по определению.
Вопрос: является ли всякий плоский R-модуль проективной размерности 1 очень плоским? Оба класса обладают свойствами замкнутости относительно операций трансфинитно-итерированного расширения и перехода к ядру сюръекции, описанными выше.
R-модуль F называется очень плоским, если ExtR1(F,C) = 0 для любого контраприспособленного R-модуля C, или, что эквивалентно, ExtRi(F,C) = 0 для любого контраприспособленного R-модуля C и любого целого i > 0. Класс очень плоских модулей замкнут относительно расширений и перехода к ядрам сюръективных морфизмов (между очень плоскими модулями). Проективная размерность очень плоского модуля не превышает 1 (т.к. Ext из очень плоского модуля в произвольный можно вычислять с помощью двучленной контраприспособленной резольвенты последнего).
Лемма (см. P. Eklof, J. Trlifaj "How to make Ext vanish", Bull. London Math. Soc. 33 #1, 2001, http://blms.oxfordjournals.org/content/33/1/41.abstract , Lemma 1): объединение непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с очень плоскими присоединенными факторами, является очень плоским R-модулем.
Теорема (см. loc. cit., Theorem 2): любой R-модуль M можно вложить в контраприспособленный R-модуль C так, что фактормодуль C/M является объединением непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с присоединенными факторами вида R[r−1], где r пробегает R.
Следствие (см. loc. cit., вторая половина доказательства Theorem 10): любой R-модуль M можно представить как фактормодуль R-модуля F, являющегося объединением непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с присоединенными факторами вида R[r−1], по контраприспособленному подмодулю C ⊂ F.
Следствие: любой очень плоский R-модуль является прямым слагаемым объединения непрерывного возрастающего семейства R-модулей, занумерованных ординалами, с присоединенными факторами вида R[r−1]. Доказательство: представить очень плоский R-модуль P в виде фактормодуля R-модуля F описанного вида по контраприспособленному подмодулю C ⊂ F, и вспомнить, что ExtR1(P,C) = 0 по определению.
Вопрос: является ли всякий плоский R-модуль проективной размерности 1 очень плоским? Оба класса обладают свойствами замкнутости относительно операций трансфинитно-итерированного расширения и перехода к ядру сюръекции, описанными выше.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2013-04-03 10:16 pm (UTC)зрения доказательство того факта, что плоскость -- открытое по "верхнему" пространству (схеме) условие?
Пару лет назад с удивлением обнаружил, что доказательство в учебниках совсем не такое прямое как хотелось бы.
no subject
Date: 2013-04-03 10:48 pm (UTC)1) если Spec S → Spec R -- морфизм аффинных схем, U ⊂ Spec S -- аффинная открытая подсхема и S -- плоский R-модуль, то и O(U) -- плоский R-модуль;
2) если Spec S → Spec R -- морфизм аффинных схем, Ui -- аффинное открытое покрытие Spec S и все O(Ui) -- плоские R-модули, то и S -- плоский R-модуль.
В пункте 1), я бы начал со случая главной аффинной открытой подсхемы U = Spec S[s−1] ⊂ Spec S. Здесь достаточно заметить, что класс плоских R-модулей замкнут относительно направленных прямых пределов.
В пункте 2), можно вписать в покрытие Ui более мелкое открытое покрытие главными аффинными открытыми подсхемами. Использовать уже доказанную часть пункта 1), чтобы свести вопрос к случаю главного аффинного открытого покрытия.
Далее, написать точную последовательность Чеха для аффинного открытого покрытия аффинной схемы (и структурного пучка), и использовать факт, что класс плоских модулей замкнут относительно операции перехода к ядру сюръекции. Также снова использовать пункт 1) для главных аффинных открытых подсхем.
Наконец, когда пункт 2) доказан, теперь и пункт 1) вытекает в полной общности.
no subject
Date: 2013-04-03 11:53 pm (UTC)Поскольку плоскость сохраняется при замене базы, плоские даже и универсально открыты; про очень плоские ты пишешь, что заменя базы неизвестна, так что можно задать вопрос и про универсальную открытость.
no subject
Date: 2013-04-04 08:06 am (UTC)Проблема с очень плоскими морфизмами у меня сейчас не в том, что в этот класс могут попасть какие-то ненужные там морфизмы, а в том, чтобы в него попали все нужные. В общем, чтобы убедиться, что очень плоских морфизмов не слишком мало.
no subject
Date: 2013-04-04 10:06 pm (UTC)