Точные категории с допустимыми ядрами

Пусть E -- точная категория, в которой всякий морфизм имеет ядро, причем ядро это является допустимым мономорфизмом. Рассмотрим аддитивную категорию H, объектами которой являются инъективные морфизмы F' → F в категории E. Группа морфизмов из объекта F' → F в объект G' → G в категории H есть группа коммутативных квадратов F' → G', F → G, профакторизованная по квадратам, предствляющим собой морфизмы комплексов, гомотопные нулю (если рассматривать объекты категории H как двучленные комплексы). Ввиду условия инъективности, наложенного на морфизм G' → G, коммутативный квадрат представляет нулевой морфизм в H тогда и только тогда, когда морфизм F → G факторизуется через морфизм G' → G.

Рассмотрим класс S морфизмов в H, состоящий из всех морфизмов двучленных комплексов с конусами, ацикличными по отношению к точной категории E; другими словами, морфизм (F' → F) → (G' → G) принадлежит S, если тройка F' → G' ⊕ F → G точна в Е. Легко видеть, что из трех морфизмов s, t, st любой третий принадлежит S, если два остальных принадлежат. Нетрудно убедиться также, что ни левая, ни правая композиция с морфизмом из S не отождествляет никаких морфизмов в H (грубо говоря, потому, что мы уже отождествили все, что нужно, профакторизовав по гомотопиям). Это влечет одно из условий Оре.

Любой морфизм (F' → F) → (G' → G), принадлежащий S, можно превратить в морфизм, составленный из допустимых мономорфизмов, заменив его на морфизм (F' → F) → (G'⊕F → G⊕F). Его можно также превратить в морфизм, составленный из допустимых эпиморфизмов, заменив его на морфизм (F'⊕G' → F⊕G') → (G' → G). Пользуясь этими конструкциями и существованием пушаутов мономорфизмов/пуллбэков эпиморфизмов в точной категории, можно проверить, что класс морфизмов S в категории H удовлетворяет оставшемуся условию Оре. Полезно также убедиться, что только морфизмы из S становятся обратимыми при обращении морфизмов из S.

Утверждается, что категория A = H[S⁻¹] абелева. В частности, пусть φ: (F' → F) → (G' → G) -- морфизм в категории H. Обозначим через K ядро морфизма F⊕G' → G и через C коядро морфизма K → F⊕G' в категории E. Тогда ядром морфизма φ в категории A является объект (F' → K), а коядром -- объект (C → H). Коядром ядра φ является объект (K → F), а ядром коядра -- объект (G' → C). Ввиду точности тройки K → F⊕G' → C, естественный морфизм между последними двумя объектами является изоморфизмом в A.

Естественный ковариантый функтор E → A сопоставляет объекту F объект (0 → F). Утверждается, что этот функтор вполне строгий, сохраняет и отражает точность троек, образ его замкнут относительно расширений в A и всякий объект (F' → F) категории A является коядром инъективного (в A) морфизма (0 → F') → (0 → F) объектов, пришедших из E.

Комодули C-кокручения и C/A-проективные контрамодули A-кокручения

Пусть кокольцо C над кольцом A является плоским левым и правым C-комодулем, а кольцо A имеет конечную слабую гомологическую размерность. Отметим прежде всего, что в точной категории C-контрамодулей A-кокручения достаточно много проективных объектов, каковыми являются прямые слагаемые C-контрамодулей, индуцированных с плоских A-модулей кокручения. Аналогично, в абелевой категории C-комодулей достаточно много инъективных объектов, которыми являются прямые слагаемые C-комодулей, коиндуцированных с инъективных A-модулей.

Теорема (ср. Semimodules, Theorem 5.3): для любого левого C-комодуля C-кокручения M, левый C-контрамодуль Ψ_C(M) является C/A-проективным C-контрамодулем A-кокручения. Для любого C/A-проективного левого С-контрамодуля A-кокручения P, левый C-комодуль Φ_C(P) является C-комодулем C-кокручения. Функторы Ψ_C и Φ_C, ограниченные на соответствующие подкатегории в категориях C-комодулей и C-контрамодулей, являются взаимно-обратными эквивалентностями между точными категориями левых C-комодулей C-кокручения и C/A-проективных левых C-контрамодулей A-кокручения.

Доказательство: отметим прежде всего, что функтор M → Ψ_C(M) = Hom_C(C,M) переводит точные последовательности левых C-комодулей C-кокручения в точные последовательности абелевых групп, т.к. C является A-плоским левым C-комодулем. Аналогично, функтор P → Φ_C(P) = C ⊙_C P переводит точные последовательности C/A-проективных левых C-контрамодулей A-кокручения в точные последовательности абелевых групп, т.к. Hom_Z(C ⊙_C P, Q/Z) = Hom^C(P, Hom_Z(C,Q/Z)) и левый C-контрамодуль Hom_Z(C,Q/Z) A-инъективен (поскольку C -- плоский правый A-модуль).

Из сказанного видно, что достаточно было бы показать, что всякий C-комодуль C-кокручения является прямым слагаемым конечно итерированного расширения C-комодулей, коиндуцированных с A-модулей кокручения, а всякий C/A-проективный C-контрамодуль A-кокручения является прямым слагаемым конечно итерированного расширения C-контрамодулей A-кокручения, индуцированный с A-модулей кокручения. Это можно сделать с помощью конструкции, представляющей собой упрощенный и в чем-то лучший вариант моих обычных конструкций резольвент (почерпнуто в статье Eklof, Trlifaj "How to make Ext vanish", вторая половина доказательства теоремы 10, откуда стоит ссылка на Salce "Cotorsion theories for abelian groups", 1979, Lemma 2.2).

Пусть имеется левый C-комодуль M; вложим его в инъективный C-комодуль J (скажем, просто C-комодуль, коиндуцированный с инъективного A-модуля), и представим факторкомодуль J/M в виде факторкомодуля A-плоского C-комодуля P по С-комодулю K, являющемуся конечно итерированным расширением C-комодулей, коиндуцированных с A-модулей кокручения. Тогда расслоенное произведение L комодулей J и P над K является расширением J с помощью K, т.е., тоже конечно итерированным расширением комодулей, коиндуцированных с A-модулей кокручения. Если теперь M является C-комодулем С-кокручения, то расширение P с помощью M, каковым является L, расщепляется, т.е. M -- прямое слагаемое L.

Аналогично, пусть имеется левый C-контрамодуль A-кокручения P; представим его в виде фактоконтрамодуля С-контрамодуля F, индуцированного с плоского A-модуля кокручения, по C-подконтрамодулю A-кокручения K. Вложим K допустимым мономорфизмом в A-инъективный C-контрамодуль J так, чтобы факторконтрамодуль Q был конечно итерированным расширением C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения. Тогда расслоенное копроизведение L допустимых мономорфизмов K → F и K → J, будучи расширением Q с помощью F, является конечно итерированным расширением контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения. Если теперь P является C/A-проективным C-контрамодулем A-кокручения, то расширение P с помощью J, каковым является L, расщепляется, т.е. P -- прямое слагаемое L.

Альтернативное доказательство в русле рассуждения из книжки про полумодули: прежде всего, всякий C-комодуль С-кокручения M имеет конечную инъективную размерность в абелевой категории C-комодулей (посчитать Ext_C(L,M) для произвольного C-комодуля L в терминах A-плоской левой резольвенты комодуля L, конечной ввиду конечности слабой гомологической размерности A). Аналогично, всякий C/A-проективный C-контрамодуль A-кокручения P имеет конечную проективную размерность в точной категории C-контрамодулей A-кокручения (посчитать Ext^C(P,Q) для произвольного C-контрамодуля A-кокручения Q в терминах A-инъективной правой резольвенты контрамодуля Q, конечной ввиду конечности гомологической размерности категории A-модулей кокручения).

Пусть теперь M -- C-комодуль кокручения; выберем ему конечную резольвенту J из инъективных C-комодулей. Поскольку инъективные комодули являются комодулями кокручения и класс комодулей кокручения замкнут относительно перехода к коядрам вложений, ацикличный комплекс M → J составлен из точных троек C-комодулей кокручения. Поэтому функтор Ψ_C преобразует его в ацикличный комплекс C-контрамодулей, из которых все, кроме, м.б., Ψ_C(M), являются C/A-проективными C-контрамодулями A-кокручения. Поскольку, кроме того, функтор Ψ_C преобразует C-комодули C-кокручения в C-контрамодули A-кокручения, все A-модули циклов в этом комплексе С-контрамодулей являются A-модулями кокручения.

Поскольку класс C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения замкнут относительно перехода к ядрам сюръекций, являющимся A-модулями кокручения, наш комплекс контрамодулей Ψ_C(M) → Ψ_C(J) состоит из точных троек C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения и, в частности, Ψ_C(M) является таким контрамодулем. Применяя теперь функтор Φ_C, получаем ацикличный комплекс C-комодулей Φ_CΨ_C(M→J) вместе с естественным отображением комплексов C-комодулей Φ_CΨ_C(M→J) → (M→J). Поскольку последнее отображение является изоморфизмом на членах J, оно является изоморфизмом и на M.

Аналогично, пусть P -- C/A-проективный C-контрамодуль A-кокручения, и пусть F → P -- его конечная проективная резольвента в точной категории C-контрамодулей A-кокручения. Поскольку класс C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения содержит проективные объекты в категории C-контрамодулей A-кокручения и закнут относительно перехода к ядрам сюръекций, являющимся C-контрамодулями A-кокручения, ацикличный комплекс F → P составлен из точных троек C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения. Поэтому функтор Φ_C преобразует его в ацикличный комплекс C-комодулей, из которых все, кроме, м.б., Φ_C(P), являются C-комодулями С-кокручения.

Поскольку класс C-комодулей C-кокручения замкнут относительно перехода к коядрам вложений, отсюда следует, что комплекс Φ_C(F) → Φ_C(P) составлен из точных троек C-комодулей C-кокручения, и в частности, Φ_C(P) является таким комодулем. Применяя теперь функтор Ψ_C, получаем ацикличный комплекс С-контрамодулей Ψ_CΦ_C(F→P) вместе с естественным отображением комплексов C-контрамодулей (F→P) → Ψ_CΦ_C(F→P). Поскольку последнее отображение является изоморфизмом на членах F, оно является изоморфизмом и на P.