Ко-контра соответствие над плоским кокольцом над кольцом конечной гомологической размерности

Пусть C -- кокольцо над кольцом A, являющееся плоским левым и правым A-модулем. Предположим, что A -- кольцо конечной слабой гомологической размерности, над которым счетные прямые суммы инъективных левых модулей имеют конечную инъективную размерность.

Теорема 1. Копроизводная категория абелевой категории левых C-комодулей эквивалентна абсолютной производной категории точной категории левых C-комодулей C-кокручения.

Теорема 2. Контрапроизводная категория точной категории левых C-контрамодулей A-кокручения эквивалентна абсолютной производной категории точной категории C/A-проективных левых C-контрамодулей A-кокручения.

Следствие: Копроизводная категория левых C-комодулей естественно эквивалентна контрапроизводной категории левых C-контрамодулей A-кокручения; эквивалентность доставляется производными функторами RΨ_C и LΦ_C.

Доказательство теоремы 1: покажем сначала, что из всякого комплекса левых C-комодулей существует морфизм в комплекс левых C-комодулей C-кокручения с коацикличным конусом. Фактически мы построим такой морфизм в комплекс инъективных C-комодулей.

Относительная кобар-конструкция (с тотализацией с помощью взятия прямых сумм вдоль диагоналей) доставляет морфизм с коацикличным конусом из всякого комплекса левых C-комодулей в комплекс левых C-комодулей, все члены которого суть C-комодули, коиндуцированные с A-модулей.

Далее нам потребуется конструкция вложения комлпекса коиндуцированных C-комодулей в комплекс C-комодулей, коиндуцированных с инъективных A-модулей, причем такого вложения, которое в каждом члене комплексов представляет собой морфизм C-комодулей, коиндуцированный с вложения A-модуля в инъективный. См. Semimodules, доказательство теоремы 5.5(a).

Переходя к факторкомплексу и итерируя эту конструкцию, мы получаем правую резольвенту нашего комплекса коиндуцированных С-комодулей, состоящую из комплексов комодулей, коиндуцированных с инъективных модулей. Тотализуя с помощью бесконечных прямых сумм, мы получаем морфизм с коацикличным конусом, бьющий из нашего комплекса в комплекс комодулей, коиндуцированных со счетных прямых сумм инъективных.

Поскольку последние, по предположению, имеют конечную инъективную размерность, мы можем запустить всю нашу конструкцию по второму разу, и после конечного числа шагов получить конечную резольвенту нашего комплекса комплексами комодулей, коиндуцированных с инъективных. Теперь остается использовать тотализацию с помощью конечных прямых сумм.

Теперь нам остается показать, что всякий комплекс левых C-комодулей C-кокручения, коацикличный по отношению к абелевой категории C-комодулей, абсолютно ацикличен по отношению к точной категории C-комодулей C-кокручения.

С этой целью мы построим для гомотопической категории C-комодулей C-кокручения полуортогональное разложение, одной стороной в котором будет гомотопическая категория комплексов, абсолютно ацикличных по отношению к точной категории C-комодулей C-кокручения, а другой -- гомотопическая категория комплексов инъективных C-комодулей. Тогда всякий комплекс C-комодулей C-кокручения, коацикличный по отношению к абелевой категории C-комодулей, будучи ортогональным всем комплексам инъективных C-комодулей, окажется абсолютно ацикличным по отношению к точной категории C-комодулей C-кокручения.

Остается вложить комплекс C-комодулей C-кокручения в комплекс инъективных C-комодулей (что легко можно сделать с любым комплексом C-комодулей, см. напр. Semimodules, доказательство теоремы 5.4(a)); перейти к факторкомплексу, и далее итерировать конструкции конечное число раз, после чего вспомнить, что гомологическая размерность категории C-комодулей C-кокручения конечна (поскольку слабая гомологическая размерность кольца A конечна), и тотализовать конечный комплекс комплексов инъективных C-комодулей.

Доказательство теоремы 2: чтобы показать, что во всякий комплекс C-контрамодулей A-кокручения есть морфизм с контраацикличным конусом из комплекса C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения, достаточно рассмотреть контрамодульную относительную бар-конструкцию нашего комплекса и тотализовать ее с помощью бесконечных произведений.

Покажем, что всякий комплекс C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения, контраацикличный по отношению к точной категории C-контрамодулей A-кокручения, абсолютно ацикличен по отношению к точной категории C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения.

С этой целью мы построим у гомотопической категории C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения полуортогональное разложение, одной стороной которого будет гомотопическая категория проективных C-контрамодулей A-кокручения (в смысле, проективных по отношению к точной категории C-контрамодулей A-кокручения -- реально, прямых слагаемых C-контрамодулей, индуцированных с плоских A-модулей кокручения), а другой стороной -- гомотопическая категория комплексов C-контрамодулей, абсолютно ацикличных по отношению к точной категории C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения.

Тогда всякий комплекс C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения, контраацикличный по отношению к точной категории C-контрамодулей A-кокручения, будучи ортогональным всем комплексам проективных C-контрамодулей A-кокручения, окажется абсолютно ацикличным по отношению к точной категории C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения.

Чтобы построить искомое полуортогональное разложение, достаточно построить допустимый эпиморфизм (т.е., морфизм комплексов, являющийся почленным допустимым эпиморфизмом) на произвольный комплекс C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения из комплекса проективных C-контрамодулей A-кокручения. После этого останется перейти к ядру морфизма комплексов, проитерировать конструкцию конечное число раз, вспомнить, что точная категория C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения имеет конечную гомологическую размерность, и взять тотальный комплекс с помощью конечных прямых сумм/произведений.

Что касается построения допустимого эпиморфизма из комплекса проективных объектов в точной категории, то тут используется обычная конструкция комплекса, свободно порожденного градуированным объектом, плюс утверждение, что морфизм, через который факторизуется допустимый эпиморфизм, сам является допустимым эпиморфизмом (при подходящих предположениях).

Ко-контра соответствие над плоским кокольцом над горенштейновым кольцом

Пусть C -- кокольцо над кольцом A, являющееся плоским левым и правым A-модулем. Предположим, что над кольцом A классы левых модулей конечной инъективной размерности и конечной плоской размерности совпадают (более общим образом, достаточно того, чтобы классы левых модулей кокручения конечной инъективной размерности и конечной плоской размерности совпадали, и при этом счетные прямые суммы инъективных левых модулей имели конечную инъективную размерность, а плоские модули кокручения имели равномерно ограниченную инъективную размерность).

Теорема 1. Копроизводная категория абелевой категории левых C-комодулей эквивалентна факторкатегории гомотопической категории аддитивной категории C-комодулей, коиндуцированных с A-модулей кокручения конечной инъективной/плоской размерности, по ее минимальной толстой подкатегории, содержащей тотализации точных троек комплексов C-комодулей, которые в каждом члене комплексов являются точными тройками C-комодулей, коиндуцированными с точных троек A-модулей кокручения конечной инъективной/плоской размерности.

Теорема 2. Контрапроизводная категория точной категории левых C-контрамодулей A-кокручения эквивалентна факторкатегории гомотопической категории аддитивной категории C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения конечной инъективной/плоской размерности, по ее минимальной толстой подкатегории, содержащей тотализации точных троек комплексов C-контрамодулей, которые в каждом члене комплексов являются точными тройками C-контрамодулей, индуцированными с точных троек A-модулей кокручения конечной инъективной/плоской размерности.

Следствие: Копроизводная категория левых C-комодулей естественно эквивалентна контрапроизводной категории левых C-контрамодулей A-кокручения; эквивалентность доставляется производными функторами RΨ_C и LΦ_C.

Доказательство теоремы 1: морфизм с коацикличным конусом из произвольного комплекса C-комодулей в комплекс C-комодулей, члены которого коиндуцированы с инъективных A-модулей, мы уже построили, когда обсуждали случай кольца A конечной слабой гомологической размерности (это предположение не использовалось в соответствующей части рассуждения).

Осталось показать, что всякий комплекс C-комодулей, коиндуцированных с A-модулей кокручения конечной инъективной размерности, коацикличный по отношению к абелевой категории левых C-комодулей, принадлежит толстой подкатегории гомотопической категории, порожденной тотализациями точных троек комплексов, каждый член которых есть точная тройка C-комодулей, коиндуцированная с точной тройки A-модулей кокручения конечной инъективной размерности.

Это делается с помощью рассуждения, основанного на построении полуортогонального разложения, аналогичного рассуждению, использованному в случае кольца A конечной слабой гомологической размерности.

Доказательство теоремы 2: покажем сначала, что во всякий комплекс C-контрамодулей A-кокручения бьет морфизм с контраацикличным конусом из комллекса C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения конечной плоской размерности. Контрамодульная относительная бар-конструкция (с тотализацией с помощью взятия бесконечных произведений вдоль диагоналей) доставляет такой морфизм во всякий комлпекс C-контрамодулей A-кокручения из комплекса C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения.

Далее нам потребуется конструкция допустимого эпиморфизма на комплекс C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения, из комплекса C-контрамодулей, индуцированных с плоских A-модулей кокручения, причем такого допустимого эпиморфизма, который в каждом члене комплексов представляет собой морфизм C-контрамодулей, индуцированный допустимым эпиморфизмом плоского A-модуля кокручения на A-модуль кокручения.

Переходя к ядру допустимого эпиморфизма комплексов и итерируя эту конструкцию, мы получаем левую резольвенту нашего комплекса C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения, состоящую из комплексов C-контрамодулей, индуцированных с плоских A-модулей кокручения. Остается тотализовать с помощью бесконечных произведений и заметить, что бесконечные произведения плоских A-модулей кокручения, будучи бесконечными произведениями A-модулей равномерно ограниченной инъективной размерности, являются A-модулями кокручения конечной инъективной размерности, а следовательно, и конечной плоской размерности.

Осталось показать, что всякий комплекс C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения конечной плоской размерности, контраацикличный по отношению к точной категории левых C-контрамодулей A-кокручения, принадлежит толстой подкатегории гомотопической категории, порожденной тотализациями точных троек комплексов, каждый член которых есть точная тройка C-контрамодулей, индуцированная с точной тройки A-модулей кокручения конечной плоской размерности.

Это делается с помощью рассуждения, основанного на построении полуортогонального разложения, аналогичного рассуждениям, использованным выше.