![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть C -- кокольцо над кольцом A, являющееся плоским левым и правым A-модулем. Предположим, что над кольцом A классы левых модулей конечной инъективной размерности и конечной плоской размерности совпадают (более общим образом, достаточно того, чтобы классы левых модулей кокручения конечной инъективной размерности и конечной плоской размерности совпадали, и при этом счетные прямые суммы инъективных левых модулей имели конечную инъективную размерность, а плоские модули кокручения имели равномерно ограниченную инъективную размерность).
Теорема 1. Копроизводная категория абелевой категории левых C-комодулей эквивалентна факторкатегории гомотопической категории аддитивной категории C-комодулей, коиндуцированных с A-модулей кокручения конечной инъективной/плоской размерности, по ее минимальной толстой подкатегории, содержащей тотализации точных троек комплексов C-комодулей, которые в каждом члене комплексов являются точными тройками C-комодулей, коиндуцированными с точных троек A-модулей кокручения конечной инъективной/плоской размерности.
Теорема 2. Контрапроизводная категория точной категории левых C-контрамодулей A-кокручения эквивалентна факторкатегории гомотопической категории аддитивной категории C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения конечной инъективной/плоской размерности, по ее минимальной толстой подкатегории, содержащей тотализации точных троек комплексов C-контрамодулей, которые в каждом члене комплексов являются точными тройками C-контрамодулей, индуцированными с точных троек A-модулей кокручения конечной инъективной/плоской размерности.
Следствие: Копроизводная категория левых C-комодулей естественно эквивалентна контрапроизводной категории левых C-контрамодулей A-кокручения; эквивалентность доставляется производными функторами RΨC и LΦC.
Доказательство теоремы 1: морфизм с коацикличным конусом из произвольного комплекса C-комодулей в комплекс C-комодулей, члены которого коиндуцированы с инъективных A-модулей, мы уже построили, когда обсуждали случай кольца A конечной слабой гомологической размерности (это предположение не использовалось в соответствующей части рассуждения).
Осталось показать, что всякий комплекс C-комодулей, коиндуцированных с A-модулей кокручения конечной инъективной размерности, коацикличный по отношению к абелевой категории левых C-комодулей, принадлежит толстой подкатегории гомотопической категории, порожденной тотализациями точных троек комплексов, каждый член которых есть точная тройка C-комодулей, коиндуцированная с точной тройки A-модулей кокручения конечной инъективной размерности.
Это делается с помощью рассуждения, основанного на построении полуортогонального разложения, аналогичного рассуждению, использованному в случае кольца A конечной слабой гомологической размерности.
Доказательство теоремы 2: покажем сначала, что во всякий комплекс C-контрамодулей A-кокручения бьет морфизм с контраацикличным конусом из комллекса C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения конечной плоской размерности. Контрамодульная относительная бар-конструкция (с тотализацией с помощью взятия бесконечных произведений вдоль диагоналей) доставляет такой морфизм во всякий комлпекс C-контрамодулей A-кокручения из комплекса C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения.
Далее нам потребуется конструкция допустимого эпиморфизма на комплекс C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения, из комплекса C-контрамодулей, индуцированных с плоских A-модулей кокручения, причем такого допустимого эпиморфизма, который в каждом члене комплексов представляет собой морфизм C-контрамодулей, индуцированный допустимым эпиморфизмом плоского A-модуля кокручения на A-модуль кокручения.
Переходя к ядру допустимого эпиморфизма комплексов и итерируя эту конструкцию, мы получаем левую резольвенту нашего комплекса C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения, состоящую из комплексов C-контрамодулей, индуцированных с плоских A-модулей кокручения. Остается тотализовать с помощью бесконечных произведений и заметить, что бесконечные произведения плоских A-модулей кокручения, будучи бесконечными произведениями A-модулей равномерно ограниченной инъективной размерности, являются A-модулями кокручения конечной инъективной размерности, а следовательно, и конечной плоской размерности.
Осталось показать, что всякий комплекс C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения конечной плоской размерности, контраацикличный по отношению к точной категории левых C-контрамодулей A-кокручения, принадлежит толстой подкатегории гомотопической категории, порожденной тотализациями точных троек комплексов, каждый член которых есть точная тройка C-контрамодулей, индуцированная с точной тройки A-модулей кокручения конечной плоской размерности.
Это делается с помощью рассуждения, основанного на построении полуортогонального разложения, аналогичного рассуждениям, использованным выше.
Теорема 1. Копроизводная категория абелевой категории левых C-комодулей эквивалентна факторкатегории гомотопической категории аддитивной категории C-комодулей, коиндуцированных с A-модулей кокручения конечной инъективной/плоской размерности, по ее минимальной толстой подкатегории, содержащей тотализации точных троек комплексов C-комодулей, которые в каждом члене комплексов являются точными тройками C-комодулей, коиндуцированными с точных троек A-модулей кокручения конечной инъективной/плоской размерности.
Теорема 2. Контрапроизводная категория точной категории левых C-контрамодулей A-кокручения эквивалентна факторкатегории гомотопической категории аддитивной категории C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения конечной инъективной/плоской размерности, по ее минимальной толстой подкатегории, содержащей тотализации точных троек комплексов C-контрамодулей, которые в каждом члене комплексов являются точными тройками C-контрамодулей, индуцированными с точных троек A-модулей кокручения конечной инъективной/плоской размерности.
Следствие: Копроизводная категория левых C-комодулей естественно эквивалентна контрапроизводной категории левых C-контрамодулей A-кокручения; эквивалентность доставляется производными функторами RΨC и LΦC.
Доказательство теоремы 1: морфизм с коацикличным конусом из произвольного комплекса C-комодулей в комплекс C-комодулей, члены которого коиндуцированы с инъективных A-модулей, мы уже построили, когда обсуждали случай кольца A конечной слабой гомологической размерности (это предположение не использовалось в соответствующей части рассуждения).
Осталось показать, что всякий комплекс C-комодулей, коиндуцированных с A-модулей кокручения конечной инъективной размерности, коацикличный по отношению к абелевой категории левых C-комодулей, принадлежит толстой подкатегории гомотопической категории, порожденной тотализациями точных троек комплексов, каждый член которых есть точная тройка C-комодулей, коиндуцированная с точной тройки A-модулей кокручения конечной инъективной размерности.
Это делается с помощью рассуждения, основанного на построении полуортогонального разложения, аналогичного рассуждению, использованному в случае кольца A конечной слабой гомологической размерности.
Доказательство теоремы 2: покажем сначала, что во всякий комплекс C-контрамодулей A-кокручения бьет морфизм с контраацикличным конусом из комллекса C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения конечной плоской размерности. Контрамодульная относительная бар-конструкция (с тотализацией с помощью взятия бесконечных произведений вдоль диагоналей) доставляет такой морфизм во всякий комлпекс C-контрамодулей A-кокручения из комплекса C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения.
Далее нам потребуется конструкция допустимого эпиморфизма на комплекс C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения, из комплекса C-контрамодулей, индуцированных с плоских A-модулей кокручения, причем такого допустимого эпиморфизма, который в каждом члене комплексов представляет собой морфизм C-контрамодулей, индуцированный допустимым эпиморфизмом плоского A-модуля кокручения на A-модуль кокручения.
Переходя к ядру допустимого эпиморфизма комплексов и итерируя эту конструкцию, мы получаем левую резольвенту нашего комплекса C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения, состоящую из комплексов C-контрамодулей, индуцированных с плоских A-модулей кокручения. Остается тотализовать с помощью бесконечных произведений и заметить, что бесконечные произведения плоских A-модулей кокручения, будучи бесконечными произведениями A-модулей равномерно ограниченной инъективной размерности, являются A-модулями кокручения конечной инъективной размерности, а следовательно, и конечной плоской размерности.
Осталось показать, что всякий комплекс C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения конечной плоской размерности, контраацикличный по отношению к точной категории левых C-контрамодулей A-кокручения, принадлежит толстой подкатегории гомотопической категории, порожденной тотализациями точных троек комплексов, каждый член которых есть точная тройка C-контрамодулей, индуцированная с точной тройки A-модулей кокручения конечной плоской размерности.
Это делается с помощью рассуждения, основанного на построении полуортогонального разложения, аналогичного рассуждениям, использованным выше.
