Точные категории с допустимыми ядрами
Apr. 22nd, 2012 12:53 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть E -- точная категория, в которой всякий морфизм имеет ядро, причем ядро это является допустимым мономорфизмом. Рассмотрим аддитивную категорию H, объектами которой являются инъективные морфизмы F' → F в категории E. Группа морфизмов из объекта F' → F в объект G' → G в категории H есть группа коммутативных квадратов F' → G', F → G, профакторизованная по квадратам, предствляющим собой морфизмы комплексов, гомотопные нулю (если рассматривать объекты категории H как двучленные комплексы). Ввиду условия инъективности, наложенного на морфизм G' → G, коммутативный квадрат представляет нулевой морфизм в H тогда и только тогда, когда морфизм F → G факторизуется через морфизм G' → G.
Рассмотрим класс S морфизмов в H, состоящий из всех морфизмов двучленных комплексов с конусами, ацикличными по отношению к точной категории E; другими словами, морфизм (F' → F) → (G' → G) принадлежит S, если тройка F' → G' ⊕ F → G точна в Е. Легко видеть, что из трех морфизмов s, t, st любой третий принадлежит S, если два остальных принадлежат. Нетрудно убедиться также, что ни левая, ни правая композиция с морфизмом из S не отождествляет никаких морфизмов в H (грубо говоря, потому, что мы уже отождествили все, что нужно, профакторизовав по гомотопиям). Это влечет одно из условий Оре.
Любой морфизм (F' → F) → (G' → G), принадлежащий S, можно превратить в морфизм, составленный из допустимых мономорфизмов, заменив его на морфизм (F' → F) → (G'⊕F → G⊕F). Его можно также превратить в морфизм, составленный из допустимых эпиморфизмов, заменив его на морфизм (F'⊕G' → F⊕G') → (G' → G). Пользуясь этими конструкциями и существованием пушаутов мономорфизмов/пуллбэков эпиморфизмов в точной категории, можно проверить, что класс морфизмов S в категории H удовлетворяет оставшемуся условию Оре. Полезно также убедиться, что только морфизмы из S становятся обратимыми при обращении морфизмов из S.
Утверждается, что категория A = H[S−1] абелева. В частности, пусть φ: (F' → F) → (G' → G) -- морфизм в категории H. Обозначим через K ядро морфизма F⊕G' → G и через C коядро морфизма K → F⊕G' в категории E. Тогда ядром морфизма φ в категории A является объект (F' → K), а коядром -- объект (C → H). Коядром ядра φ является объект (K → F), а ядром коядра -- объект (G' → C). Ввиду точности тройки K → F⊕G' → C, естественный морфизм между последними двумя объектами является изоморфизмом в A.
Естественный ковариантый функтор E → A сопоставляет объекту F объект (0 → F). Утверждается, что этот функтор вполне строгий, сохраняет и отражает точность троек, образ его замкнут относительно расширений в A и всякий объект (F' → F) категории A является коядром инъективного (в A) морфизма (0 → F') → (0 → F) объектов, пришедших из E.
Рассмотрим класс S морфизмов в H, состоящий из всех морфизмов двучленных комплексов с конусами, ацикличными по отношению к точной категории E; другими словами, морфизм (F' → F) → (G' → G) принадлежит S, если тройка F' → G' ⊕ F → G точна в Е. Легко видеть, что из трех морфизмов s, t, st любой третий принадлежит S, если два остальных принадлежат. Нетрудно убедиться также, что ни левая, ни правая композиция с морфизмом из S не отождествляет никаких морфизмов в H (грубо говоря, потому, что мы уже отождествили все, что нужно, профакторизовав по гомотопиям). Это влечет одно из условий Оре.
Любой морфизм (F' → F) → (G' → G), принадлежащий S, можно превратить в морфизм, составленный из допустимых мономорфизмов, заменив его на морфизм (F' → F) → (G'⊕F → G⊕F). Его можно также превратить в морфизм, составленный из допустимых эпиморфизмов, заменив его на морфизм (F'⊕G' → F⊕G') → (G' → G). Пользуясь этими конструкциями и существованием пушаутов мономорфизмов/пуллбэков эпиморфизмов в точной категории, можно проверить, что класс морфизмов S в категории H удовлетворяет оставшемуся условию Оре. Полезно также убедиться, что только морфизмы из S становятся обратимыми при обращении морфизмов из S.
Утверждается, что категория A = H[S−1] абелева. В частности, пусть φ: (F' → F) → (G' → G) -- морфизм в категории H. Обозначим через K ядро морфизма F⊕G' → G и через C коядро морфизма K → F⊕G' в категории E. Тогда ядром морфизма φ в категории A является объект (F' → K), а коядром -- объект (C → H). Коядром ядра φ является объект (K → F), а ядром коядра -- объект (G' → C). Ввиду точности тройки K → F⊕G' → C, естественный морфизм между последними двумя объектами является изоморфизмом в A.
Естественный ковариантый функтор E → A сопоставляет объекту F объект (0 → F). Утверждается, что этот функтор вполне строгий, сохраняет и отражает точность троек, образ его замкнут относительно расширений в A и всякий объект (F' → F) категории A является коядром инъективного (в A) морфизма (0 → F') → (0 → F) объектов, пришедших из E.
