![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНетрудно показать, что категория левых комодулей над кокольцом C над кольцом A абелева и при этом одновременно забывающий функтор C-comod → A-mod точен тогда и только тогда, когда C плоский правый A-модуль. Аналогично, категория левых контрамодулей над кокольцом C над кольцом A абелева и при этом забывающий функтор C-contra → A-mod точен тогда и только тогда, когда C -- проективный левый A-модуль.
Что будет, если не накладывать условие точности забывающего функтора? Может ли все-таки категория комодулей над неплоским кокольцом оказаться абелевой? Я не знаю ответа в общем случае, но вот один контрпример.
Рассмотрим кокольцо C над кольцом целых чисел A = Z с компонентами C11 = C22 = Z и C12 = Z/l (с очевидным коумножением Cik → Cij ⊗A Cjk -- верхнетреугольное матричное кокольцо такое). Тогда левые C-комодули -- это пары абелевых групп (M1, M2), снабженных гомоморфизмом M1 → M2/l.
Рассмотрим C-комодуль M = (M1, M2) с M1 = Z, M2 = Z/l, и сюръективным отображением M1 → M2/l. Далее, пусть N = (N1, N2) -- C-комодуль с N1 = 0 и N2 = Z/l2. Тогда имеется гомоморфизм C-комодулей M → N, действующий на компонентах M2 → N2 отображением вложения Z/l → Z/l2.
Тогда ядром гомоморфизма С-комодулей M → N является комодуль (lZ,0), коядром ядра -- комодуль (Z/l, Z/l) (с изоморфизмом Z/l → (Z/l)/l). Коядром морфизма M → N является комодуль (0,Z/l), и ядром коядра -- комодуль (0,Z/l).
Вот аналогичный контрпример для контрамодулей. Рассмотрим кокольцо C над кольцом A = Z с компонентами C11 = C22 = Z и C12 = Q. Тогда левые C-комодули -- это пары абелевых групп (P1, P2), снабженных гомоморфизмом HomZ(Q,P1) → P2.
Рассмотрим C-контрамодули P = (Z⊕∞, 0) и Q = (Q, Q), с отображением HomZ(Q,Q) → Q, являющимся изоморфизмом. Тогда имеется гомоморфизм C-контрамодулей P → Q, действующий на компонентах P1 → Q1 сюръективным отображением Z⊕∞ → Q.
Пусть K -- ядро последнего гомоморфизма (абелевых групп). Тогда ядром гомоморфизма C-контрамодулей P → Q является контрамодуль (K,0), а коядром ядра -- контрамодуль (Q,0). Коядром гомоморфизма C-контрамодулей P → Q является контрамодуль (0,0) (т.е., гомоморфизм P → Q является эпиморфизмом в категории C-контрамодулей), а ядром коядра, соответственно, контрамодуль Q = (Q, Q).
Что будет, если не накладывать условие точности забывающего функтора? Может ли все-таки категория комодулей над неплоским кокольцом оказаться абелевой? Я не знаю ответа в общем случае, но вот один контрпример.
Рассмотрим кокольцо C над кольцом целых чисел A = Z с компонентами C11 = C22 = Z и C12 = Z/l (с очевидным коумножением Cik → Cij ⊗A Cjk -- верхнетреугольное матричное кокольцо такое). Тогда левые C-комодули -- это пары абелевых групп (M1, M2), снабженных гомоморфизмом M1 → M2/l.
Рассмотрим C-комодуль M = (M1, M2) с M1 = Z, M2 = Z/l, и сюръективным отображением M1 → M2/l. Далее, пусть N = (N1, N2) -- C-комодуль с N1 = 0 и N2 = Z/l2. Тогда имеется гомоморфизм C-комодулей M → N, действующий на компонентах M2 → N2 отображением вложения Z/l → Z/l2.
Тогда ядром гомоморфизма С-комодулей M → N является комодуль (lZ,0), коядром ядра -- комодуль (Z/l, Z/l) (с изоморфизмом Z/l → (Z/l)/l). Коядром морфизма M → N является комодуль (0,Z/l), и ядром коядра -- комодуль (0,Z/l).
Вот аналогичный контрпример для контрамодулей. Рассмотрим кокольцо C над кольцом A = Z с компонентами C11 = C22 = Z и C12 = Q. Тогда левые C-комодули -- это пары абелевых групп (P1, P2), снабженных гомоморфизмом HomZ(Q,P1) → P2.
Рассмотрим C-контрамодули P = (Z⊕∞, 0) и Q = (Q, Q), с отображением HomZ(Q,Q) → Q, являющимся изоморфизмом. Тогда имеется гомоморфизм C-контрамодулей P → Q, действующий на компонентах P1 → Q1 сюръективным отображением Z⊕∞ → Q.
Пусть K -- ядро последнего гомоморфизма (абелевых групп). Тогда ядром гомоморфизма C-контрамодулей P → Q является контрамодуль (K,0), а коядром ядра -- контрамодуль (Q,0). Коядром гомоморфизма C-контрамодулей P → Q является контрамодуль (0,0) (т.е., гомоморфизм P → Q является эпиморфизмом в категории C-контрамодулей), а ядром коядра, соответственно, контрамодуль Q = (Q, Q).
