Leonid Positselski

Тебе не кажется, что это тот же вопрос, который я тебе задавал давеча в ЖЖ Юры Кузнецова - о том, что (упрощая и сокращая) математика есть форма мышления, посредством которой человек познает внешний мир, природу?

From:

Насчет математики, мне кажется, что это в основном верно, и я бы даже говорил не о природе вообще, а более специфически о неживой природе. В то же время есть ограниченный круг исключений, на которые указал

kuznetsov.

Вот еще пример -- нетривиальная математика применяется сейчас в криптографии. Конечно, в современных условиях криптография реализуется на компьютерах, но она не привязана к ним неразрывно. Вообще текст, понимаемый формально как последовательность символов -- объект вполне математический, но в прототипов в природе помимо деятельности человека не имеющий.

Этот постинг посвящен другому вопросу -- должна ли наука ориентироваться только на потребности тех приложений, из которых она возникла, или она может также преследовать свои собственные цели, определяемые внутренней логикой своего предмета.

From:

Нет, тут водораздел не по линии живой-неживой. Слонов считают так же, как и кирпичи (а равно как и собственных детей).

From:

И так же, как походы в магазин (сегодня ходил два раза). И так же, как аргументы (во-первых, во-вторых, и в-третьих).

Я имел в виду содержательные приложения. Физика насквозь математична, биология, как я понимаю -- нет.

Можно еще с высоты сбросить слона или кошку, и измерить время до столкновения с землей. Но это будет скорее физика, чем биология. Даже измерять линейные размеры или вес слона или человека -- намного менее осмысленно, чем неживой предмет измерять.

From:

Совершенно верно. Слоны, кирпичи, походы в магазин и аргументы - это все интертемпорально и интерперсонально верифицируемые объекты наблюдения, то есть объекты внешнего мира, поэтому к ним применим счет. В отличие от оценок.

From:

Думаю, что тут не так просто. Слоны, кирпичи, походы в магазин и аргументы - объекты наблюдения, верифицируемые в весьма разной степени. Вот, скажем, идет себе гражданин. Мы его, понимаешь, останавливаем, он нам объясняет, что идет в магазин. А мы знаем, что идет он на марш несогласных, а не в какой не в магазин. Кирпичи тоже - те, что уже из печки вышли, но еще не остыли, - они как, кирпичи (т.е. элемент запасов в части готовой продукции) или еще только заготовки (т.е. элемент запасов же, но в части незавершенного производства). Или вот слоны. Являются ли слоны индийские такими же объектами, как слоны африканские? Любой директор зоопарка скажет, что нет.
Или вот еще, интерперсональности. Считаем возможности взятия ворот. Я говорю - три было верных в первом тайме. А он мне отвечает, что ни одного.

То есть, видимо, счет применим не потому, что считаемое - объекты внешнего мира, а потому что они мыслятся как однородные, поддающиеся счету. Понимаю, что тут тавтология, но все-таки - операция "это я могу складывать, а это - нет" - тоже мыслительная. Поэтому различение "вещей" и субъективных оценок - не в объективности одних и субъективности других, не формальное, а содержательное. Его нельзя "задать", но можно объяснить. Но это, в некотором смысле, не имеет смысла - желая "упростить" восприятие экономической теории, ее специфичности, мы не сможем избежать явного изложения этой самой теории.

From:

ни в какой не в магазин, sorry.

From:

Любой анализ объектов внешнего мира, даже самый примитивный, основывается на соответствующей целям анализа конвенции насчет релевантности тех или иных параметров, характеристик объектов. Это равно относится и к слонам, и к кирпичам, и к пещерам. Иначе человек не может мыслить. Своим умом он видит не внешний мир вообще, а его категориальный срез.

Опять же, содержательное обсуждение предполагает возможность верификации (см. ниже мой коммент Лене). В противном случае твой пример с возможностями взятия ворот сводится к бессмысленному обсуждению мыслей: "я сейчас думаю вот такую мысль" (например, что взоможностей было три) - "нет, ты должен думать другую мысль". Ясно, что сама представимость обсуждения прошедшей игры возможна только при условии, что существует возможность верификации (просмотреть пленку, расспросить других).

From:

Непонятно, при чем тут математика. Возможность верификации равно необходима для обсуждения каких-либо подсчетов, связанных с футбольным матчем, характера игры, мастерства спортсменов и любых иных аспектов. Арбитры с хорошей памятью столь же необходимы для установления количества приводившихся аргументов, как и для обсуждения их содержания; во втором случае требования к памяти арбитров даже более строгие.

Каким образом получается, что неверифицируемые сущности нельзя рассматривать математически, но можно праксеологически?

From:

Верифицируемость используется, конечно, не только для счета, но без верифицируемости невозможен счет (и, как следствие, использование математического аппарата). В этом суть.

From:

Аргументы -- объекты внешнего мира?

В математике встречаются, например, актуально-бесконечные объекты. Хотя бы вещественные числа, рассматриваемые не с погрешностью какой-то, а как абсолютно точные. Скажем, можно задаться вопросом, рационально ли число пи. Такой вопрос, конечно, от времени и личности не зависит, но что в нем верифицируемого? Сколько ни вычисляй десятичные знаки числа пи, рационально ли оно -- никогда не узнаешь. Можно доказать, что число пи иррационально, но взять и напрямую проверить это -- никоим образом нельзя.

Есть и совсем неконструктивные объекты, существование которых устанавливается с помощью аксиомы выбора. То есть ситуация такая: есть некоторое множество, про него доказано, что непусто и вообще очень велико, но ни одного конкретного элемента его указать невозможно. Выберем какой-нибудь элемент такого множества, и будем о нем рассуждать, чтобы доказать теорему о натуральных числах. Рассуждение не зависит ни от времени, ни от человека, но объекты, о которых в нем идет речь -- абсолютно не верифицируемы. Против таких доказательств выдвигались возражения -- как вы можете быть уверены, что на протяжении всего рассуждения говорите об одном и том же элементе, если вы не можете указать, о каком элементе идет речь. А, мы просто выбрали какой-нибудь, какой -- не знаем, один выбрали, о нем и говорим.

From:

Вот-вот-вот.

From:

Аргументы -- объекты внешнего мира?

Я, как водится, сокращаю и пропускаю промежуточные дисклаймеры. Так что "аргументом" в данном случае следует, конечно, считать не сам мыслительный процесс вообще, а особый атрибут некоторых объектов внешнего мира. Это может быть запись на материальном носителе или даже только в головах людей, но в последнем случае должны быть некие люди-арбитры, с хорошей памятью, с помощью которых можно проверить правильность запоминания (как я понимаю, в древности это был распространенный способ хранения и передачи знания). Только при этих условиях подсчет аргументов оказывается осмысленным и верифицируемым. Как видишь, здесь обязательно присутствуют внешние объекты - или материальные носители информации, или арбитры с хорошей памятью.

From:

Да, это верно. Тут, собственно, и начинается самое интересное, с этих арбитров. Отсюда, из проблемы "объективности мнений" - вся политика с программами, да и цены тоже, т.е. все собственно человеческое вырастает.

From:

А сами числа -- тоже объекты внешнего мира?

Или, скажем, множества чисел. Вот я утверждаю, что существует ровно два в степени тысяча подмножеств множества натуральных чисел от 1 до 1000. Эти подмножества не могут быть записаны ни на каком материальном носителе. Их слишком много, ни на какой носитель не поместятся. Доказать мое утверждение очень легко. От времени и личности оно не зависит. Проверять его прямым пересчетом -- жизни не хватит, даже если на компьютере перебирать.

Подмножества множества {1,...,1000} -- объекты внешнего мира?

From:

timur0.livejournal.com

>>А сами числа -- тоже объекты внешнего мира?

Помнится, в статье «What Numbers Could Not Be» П. Бенацерраф вообще доказывает, что числа не являются объектами - не то что реального мира, а даже идеального.

From:

Числа - это категории, понятия мышления. Собственно, все операции, которые мы производим в ходе анализа внешнего мира - это тоже ведь операции с категориями, потому что в природе не существует изолированных объектов анализа, все эти объекты суть только наши понятийные абстракты.

From:

Да-съ, уже 15 комментаріевъ безъ меня прошли :)

Ты немного повернулъ разсужденіе въ сторону того, зачѣмъ нужны науки. (Все согласны, что астрофизика напрямую не нужна.) Изначально мы говорили о томъ, что математическія понятія не произвольная выдумка. Я развивалъ идею о томъ, что математическія понятія не произвольны из-за того, что они вырабатываются для описанія міра, а міръ - внѣшній по отношенію къ намъ и потому не произволенъ. Почему міръ такой, а не другой (напримѣръ, почему длина отрѣзка не p-адическое число, а вещественное) - этого никто не знаетъ.

Какъ возникла астрономія - я думаю, изъ любопытства и попытокъ объяснить и предсказать погоду, смену времёнъ года, затмѣнія солнца, и прочіе явленія. Реально въ нашей жизни используется только механика, электродинамика, физика твёрдого тела (въ основномъ безъ полной теоріи), термодинамика, и немного квантовой оптики и теоріи относительности. Можно ли было развить эти теоріи безъ астрономіи и физики частицъ? Теперь, имѣя всю классическую физику, мы знаемъ, что открыть уравненія Максвелла было бы "съ нуля" (безъ дальнодѣйствующей гравитаціи Ньютона) нельзя, а гравитацію Ньютона можно было открыть только на такомъ относительно простомъ, но нетривиальномъ примѣрѣ, как движеніе планетъ. Физика частицъ, теорія струнъ, общая теорія относительности, и абсолютное большинство чистой математики въ общемъ на практике пока нужны и, я думаю, развились вслѣдствіе соціальныхъ причинъ (инженеровъ и прикладныхъ мат-физиковъ долженъ кто-то учить теоретической физикѣ и математикѣ; а для выбора наиболѣе подходящихъ преподавателей происходитъ отборъ по научной карьерѣ).

Кстати, недавно была интересная философски-методологическая статья одного известного астрофизика, Simon White: http://de.arxiv.org/abs/0704.2291
Основная идея такая: есть сообщество астрофизиковъ, и есть сообщество cosmologists who used to be elementary particle physicists (условно назовёмъ ихъ просто "космологами"). И те, и другие занимаются практически не нужными вещами. Но они занимаются этими вещами вѣсьма по-разному. Астрофизики хотятъ получить физически интересную качественную картину сложныхъ процессовъ (детали образованія галактикъ, и т.д.), а "ядерщики"-космологи хотятъ построить Настоящую Единую Теорию Всего. Поэтому астрофизики ставятъ эксперименты по наблюденію какъ можно больше разныхъ объектовъ, а космологи измѣряютъ только одну вещь, но очень точно, и только чтобы провѣрить некоторую фундаментальную гипотезу (напримѣръ, "существуетъ тёмная энергия съ заданнымъ лагранжианомъ"). Интересенъ и соціологическій аспектъ: въ то время какъ есть большое и активное сообщество астрономовъ-любителей, которые тоже иногда делаютъ интересные для науки наблюденія разныхъ неожиданныхъ объектовъ, никакихъ космологовъ-любителей (которые бы реально дѣлали науку) нѣтъ - есть только профессіоналы. Я какъ космологъ-профессіоналъ полностью согласенъ.

Тотъ фактъ, что моя профессіональная дѣятельность почти никому не нужна, уже былъ мнѣ поводомъ для непріятныхъ размышленій. Вотъ напримѣръ что я сейчасъ долженъ дѣлать. Дана система двухъ нелинейныхъ обыкновенныхъ дифференціальныхъ уравненій съ двумя неизвѣстными функціями E(t), F(t). Эти уравненія написаны явно и содержатъ также заданныя функціи K(F) и Q(v), гдѣ v=dF/dt, как часть постановки задачи. Здѣсь E это плотность энергіи обычной матеріи, а v связано с плотностью "тёмной энергіи". Надо найти такія K(F), Q(v) что задача имѣетъ интересные для космологіи рѣшенія, когда плотность "тёмной энергіи" стремится къ константѣ при t->infinity. Если таковые будутъ найдены, то тѣмъ самымъ будетъ найдена новая модель для космологіи (она правда такъ же, какъ и всѣ старыя модели, никому не нужна) и опубликована ещё одна статья (которую будутъ читать примѣрно человѣкъ 20). Поскольку статьи мнѣ нужны для поиска работы, то вотъ уже мѣсяцъ, как два студента подъ моимъ руководствомъ анализируютъ асимптотики рѣшеній этихъ дифф. ур. при t->infinity. Надо разсмотрѣть около дюжины разныхъ случаевъ качественнаго поведенія. Десять случаевъ уже разсмотрено. Студенты соображаютъ иногда хорошо, иногда плохо, поэтому я должен всё самъ потомъ провѣрять. Дѣлать это мнѣ очень неохота. Поэтому я сижу и пишу в ЖЖ. :)

From:

Опечатка по Фрейду:

"Физика частицъ, теорія струнъ, общая теорія относительности, и абсолютное большинство чистой математики въ общемъ на практике пока нужны"

Я имѣлъ въ виду сказать, "на практикѣ пока не нужны"...

From:

По-моему, для описания мира природы вырабатываются понятия естествознания и, в частности, физики, а вовсе не математики. Пример с понятием вещественного числа легко вводит в заблуждение, поскольку это понятие в такой же мере принадлежит теоретической физике, как и математике. Дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения -- все это обычный аппарат теоретической физики, и, как я понимаю, физики пользуются им не совсем так, как математики. Сходимость не проверяют, перестановочность пределов не доказывают, вопросами существования-единственности решений не интересуются.

Математика -- это не технический аппарат для естествознания, а отдельная наука, со своими методами и целями. Ответ на вопрос, откуда берутся математические понятия, в общем виде такой -- для изучения наиболее важных из ранее введенных понятий. Типичный случай -- это когда новое понятие создается и используется для доказательства какой-то теоремы. Самые глубокие и важные понятия математики создаются таким образом. Другой вариант -- когда новое понятие вводится для того, чтобы распространить какую-то теорию на ситуации, к которым она ранее не была применима. Когда человек выступает на семинаре с докладом о новых понятиях, которые он придумал, если он сам не объяснил, у него спрашивают -- зачем это нужно? Подразумевается, что будет указано на приложения к ранее известным математическим задачам.

Я сейчас пишу длинный текст про то, как построить в естественной общности теорию полубесконечных когомологий ассоциативных алгебр. Раньше про это hippie57 много писал. Полубесконечные когомологии алгебр Ли придумали математики, но они тесно связаны с конструкцией BRST, которую придумали физики.

Вещественные числа не являются для математики ни самым простым, ни самым важным понятием. Рациональные числа проще и были поняты раньше, комплексные числа -- важнее. Центральным объектом математики являются не вещественные, а натуральные числа. Чтобы изучать целые и рациональные числа, нужны вещественные и p-адические числа, причем вещественные и p-адические числа оказываются в глубоком смысле аналогичными и должны, по-возможности, рассматриваться параллельно. Таковы выводы околоматематической философии, выработанной вокруг теории чисел. Эта аналогия равно полезна для изучения p-адических и вещественных чисел.

Опыт показывает, что чистая наука, движимая любопытством и преследующая свои внутренние цели -- оказывается полезной непредсказуемым заранее образом. Современные социальные условия, в которых развиваются математика и физика, могут объяснять объем неприкладных исследований, но не сам факт их существования. Во времена Ньютона и Эйлера были другие социальные условия, однако ж наука развивалась. Я думаю, заниматься наукой свойственно людям.

From:

Ещё такая мысль. Въ современной теорфизикѣ наблюдается тенденція превращенія въ математику, въ слѣдующемъ смыслѣ. Въ математикѣ новое понятіе разсматриваютъ какъ полезное, если оно приводитъ къ многимъ интереснымъ результатамъ, новымъ теоремамъ, или пониманію старыхъ результатовъ на новомъ уровнѣ. Въ физикѣ традиціонно считалось, что теорія полезна, когда она объясняетъ наблюденія. Однако сегодня наблюденій осталось мало, а теоретиковъ становится всё больше. Поэтому въ физикѣ тоже постепенно начали считать, что теорія полезна, если она позволяетъ создавать другія теоріи. Классическій примѣръ - теорія струнъ. Я думаю, рано или поздно это приведётъ къ рѣзкому сокращенію финансированія теорфизики.

From:

Мне казалось, что целью теории струн является построение одной-единственной теории, просто она слишком сложная и поэтому ее строят по кусочкам. Судьба финансирования не так интересна, как судьба собственно научной области. Удастся ли им когда-нибудь построить эту Общую Теорию Всего -- вот занимательный вопрос. Пока что из струнной физики произошло много интересной математики.

From:

Декларируемая цѣль теоріи струнъ - построить единую модель гравитаціи и всѣхъ элементарныхъ частицъ и взаимодѣйствій, это да. Я имѣлъ въ виду то, какъ они реально строятъ эту теорію. Напримѣръ, нѣкто придумалъ, что если добавить ещё какія-то поля и fluxes, то получится какой-то новый orbifold. Всѣ начинаютъ его изучать. Почему? Не потому, что этотъ orbifold позволяетъ описать наблюдаемыя явленія точнѣе или позволяетъ рѣшить уравненія, которые раньше не могли рѣшить (это было бы понятно съ позиціи традиціонной физики). Новый orbifold начинаютъ изучать только потому, что онъ позволяетъ сдѣлать много новыхъ вычисленій и возможно позволитъ понять какія-то новые вещи - то-есть это мотивація чисто математическаго толка. (Не говорю о томъ, что всѣмъ надо публиковать много статей, поэтому каждый новый орбифолдъ - это буквально чей-то хлѣбъ.)

From:

Может ли быть иначе? Ведь их цель -- не решить, а написать уравнения.

From:

Видишь-ли какое дѣло... Съ точки зрѣнія математики это правильно. Цѣль - написать какія-нибудь уравненія, лишь бы интересные и содержательные. Съ точки зрѣнія физики это не можетъ быть правильно: цѣль - написать уравненія, которыя потомъ можно рѣшить и которыя описываютъ нѣкоторую часть наблюдаемыхъ явленій. Вотъ примѣръ: теорія суперструнъ требуетъ существованія суперсимметріи (т.е. должны существовать суперсимметричные образы обычныхъ частицъ - фотино, с-нейтрино, гравитино и т.д.) и 6 дополнительныхъ измѣреній пространства. Ничего этого не наблюдается. Стандартное разсужденіе физика: теорія не работаетъ въ 4 измѣреніяхъ и предсказываетъ несуществующія частицы,- значитъ нужна другая теорія. Стандартное разсужденіе математика: теорія дала много интересныхъ результатовъ,- значитъ это хорошая теорія и её надо изучать дальше. Ясно, что струнщики, хоть и называютъ себя физиками, но на дѣлѣ придерживаются второй точки зрѣнія.

Лично я одинаково сочувствую и первой, и второй позиціямъ. Однако надо быть честнымъ и не выдавать одно за другое. Мнѣ кажется, что струнщики какъ сообщество ведутъ себя нечестно - они притворяются, что придерживаются позиціи физиковъ, а на самомъ дѣлѣ твёрдо стоятъ на позиціи математиковъ. (Но методы для работы используютъ сугубо "физические" - ничего строго не доказывать, словъ "теорема" и "опредѣленіе" не говорить, зато дѣлать много conjectures, много вычисленій безъ полной корректности шаговъ и т.д. - такъ легче.)

Черезъ 2 года будутъ первыя данныя съ ускорителя LHC. Это для физики будетъ очень важная вѣха. Я думаю, на 99 процентовъ можно быть увѣреннымъ, что ни суперсимметріи, ни дополнительныхъ измѣреній пространства тамъ не откроютъ. Если откроютъ - будетъ прекрасно. Но я думаю, что не откроютъ, а струнщики придумаютъ ещё 100 моделей, согласно которымъ суперсимметрію и дополнительныя 6 измѣреній никогда не будетъ возможно пронаблюдать въ экспериментѣ. Тогда во вѣсь ростъ встанетъ вопросъ: кому нужна вся эта дорогостоящая физика несуществующихъ 6 измѣреній и несуществующихъ суперструнъ. Струнщикамъ скажутъ (неформально, разумѣется): переходите, господа, на факультеты математики и занимайтесь тамъ дальше вашей математикой, безъ всякихъ ускорителей, которые вамъ всё равно до лампочки (вѣдь результаты измѣреній струнщики не принимаютъ всерьёзъ).

From:

Мне кажется, с суждением о существовании дополнительных измерений пространства и прочих таких вещей можно подождать до времени, когда теория струн будет построена, или хотя бы в основном построена. Если струнщики пока не готовы предсказывать наблюдаемые явления и подвергать свою теорию экспериментальной проверке -- значит, неготовы.

В конце концов, странные плохо наблюдаемые сущности рассматриваются не только в теории струн. Та же темная материя... Да и черные дыры, которые ОТО предсказывает -- подтверждено ли полноценным образом их существование? А если подтверждено, то давно ли, и сколько времени прошло между предсказанием и подтвержденим?

Что струнщики уговаривают публику строить ускорители и одновременно не принимают всерьез результаты измерений -- это интересная претензия, да.

Математики не считают теорию струн математикой, а физики, похоже, не считают ее физикой.

From:

Да, примѣрно такъ и есть. Почти всѣ другіе теорфизики, которые пытались разобраться, не считаютъ теорію струнъ физикой, а скорѣе нѣкоторымъ упражненіемъ въ ненужныхъ и безнадёжно сложныхъ вычисленіяхъ. Пока есть нѣкоторая надѣжда, что изъ теоріи струнъ выйдетъ методъ вычисленій для нѣкоторыхъ задачъ квантовой хромодинамики (т.е. теоріи сильныхъ взаимодѣйствій, что само по себѣ мало полезно для жизни). Если выйдетъ, то будетъ уже неплохо.

Что касается чёрныхъ дыръ, то они пока не подтверждены на 100 процентов, но примѣрно на 95 подтверждены. Однако можетъ оказаться, что ОТО не работаетъ, когда кривизна пространства-времени становится очень большой. Поэтому можетъ оказаться, что чёрные дыры на самомъ дѣлѣ внутри не сингулярны. Но статусъ ОТО какъ работающей теоріи не измѣнится, т.к. есть много другихъ экспериментальныхъ подтвержденій. Вѣрно, что до этихъ экспериментальныхъ подтвержденій у ОТО былъ шаткій статусъ и ей почти никто не занимался. Но это означаетъ, что физики имѣли здравый взглядъ на вещи.

From:

leblon.livejournal.com

Скажите пожалуйста, а Эйлер, Лаплас, или Фурье занимались математикой или нет? Ведь их рассуждения, по большей части, нельзя назвать строгими, и даже понятия, которыми они оперировали, не были еще строго определены.

Я, конечно, намекаю на то, что квантовые теорфизики вообще и струнщики в частности занимаются математической теорией функционального интеграла, который пока строго не определен. Но когда будет определен - их деятельность станет вполне осмысленной математикой.

From:

Области математики, временно не имеющие строгих оснований, вполне могут существовать, и нестрогие рассуждения в математике возможны и полезны. Разница между физикой и математикой -- не в строгости. Просто это разные науки с разными целями.

Если бы струнная физика, или хотя бы ее значение для математики, сводилась к нарождающейся математической теории функционального интеграла, математики возились бы с функциональными интегралами сами, а не пытались изучать физику.

Ни одна область физики еще не стала математикой, насколько бы ни был хорошо разработан ее математический аппарат. Даже классическую механику математики математикой не считают. Соответствующие области математики -- симплектическая геометрия, обыкновенные дифференциальные уравнения, вариационное исчисление -- не тождественны механике.

По крайней мере, так мне это представляется.

From:

leblon.livejournal.com

"Если бы струнная физика, или хотя бы ее значение для математики, сводилась к нарождающейся математической теории функционального интеграла, математики возились бы с функциональными интегралами сами, а не пытались изучать физику."

Что значит "сами"? Ньютон, например, был сразу и физиком и математиком. Почему Ньютон - математик, а, скажем, Дирак, Хоофт, Зайберг, или Виттен - нет? Если функциональный интеграл станет частью математики, все, кто занимался изучением его свойств (без непосредственной связи с конкретной физической теорией), будут автоматически зачислены в математики. По-моему, большое число теорфизикой (я в том числе) занимается терией поля во многом из-за желания понять теорию поля "вообще". Это вполне можно уподобить изучению симплектической геометрии или дифференциальных уравнений.

Во-вторых, разве математиков интересует Стадартная Модель или как
считать сечения рассеяния частиц? Их как раз интересует, как физики используют функциональный интеграл, чтобы извлечь какие-то хорошо определенные следствия.

"Даже классическую механику математики математикой не считают."

С механикой не совсем ясно, что это такое. "Механическая" часть мехмата МГУ, например, - это физика или математика? Я слабо представляю, чем они там занимаются, но по-моему, это скорее прикладная математика, чем физика.

From:

leblon.livejournal.com

Еще можно так сказать. Когда я думаю, что решаю математические проблемы, имеющие какое-то отношение к физичекой (а не платоновской) реальнсти, я занимаюсь физикой. Если оказывается, что проблема имеет математический интерес, это будет еще и математикой. Если потом окажется, что проблема не имеет отношения к реальности, но тем не менее математически интересна, то это просто математика. В настоящий момент ясно, что квантовая теория поля безусловна имеет отношение к реальности и интересна математически. Значит, это и физика и математика. Пока неясно, какое отношение теория струн имеет к реальности, но ее математический интерес очевиден, так что это тоже математика.

From: