Leonid Positselski

Низкий уровень понимания структуры математики за пределами довольно узкой области (а именно это важно, чтобы иметь возможность разговаривать о научных революциях и т.п.)? Да, несомненно, больше половины мехматских аспирантов таково - легко предположить, что и две трети даже. Вся структура undergrad обучения на мехмате к этому старательно готовит, увы.

From:

Ваш аргумент постепенно приобретает структуру "Я прав, потому что все, кроме меня, дураки". Мне не очень хочется обсуждать эту тему в таком духе, прошу прощения.

From:

Не хотите - не обсуждайте. Думаю, что есть довольно много математиков, с кем Вы знакомы и кому доверяете, чтобы сверить у них мою оценку ситуации с аспирантами - что подавляющее большинство аспирантов не знают основ топологии, аспиранты-топологи в большинстве не в курсе про довольно базовые факты алгебры и функционального анализа и т.п. Мне даже удивительно, что у Вас, судя по всему, есть какие-то иллюзии по этому поводу: по крайней мере один наш общий ЖЖ-френд, чьему мнению я доверяю, считает Вас человеком весьма компетентным.

From:

Ну, эрудицию аспиранта в различных областях я конечно, не могу оценить компетентно и ничуть на то не претендую. Но: 1) у нас дискуссия. Дискуссия проходит в группе. В группу входят представители обычно четырех - шести кафедр. Причем является на занятия та часть, которая заинтересована не только в оценке, но и в процессе, обычно это люди не самые плохие на курсе. 2) В качестве возможных парадигм в математике рассматриваются не смены узких областей топологии или алгебры, потому что они не подходят по определению парадигмы. Рассматриваются большие области математики: переход от греческой геометрической математики к анализу, например. Или переход от евклидовой геометрии к неевклидовым. Или появление принципиально новых требований к доказательству. Ну, то есть области, где не нужна особенно уж замысловатая эрудиция.

From:

О, Вы привели замечательный пример. Его часто приводят в этом контексте. Про неевклидовы геометрии. Мне всегда хотелось узнать, в чём же тут научная революция? Математики не могли долго понять сущность пятого постулата, явно подозревали, что аксиомой его не надо считать, пытались доказать, какие-то ошибки делали, потом, наконец, разобрались, в чём дело, и поняли, что есть модели, где он верен, а есть другие. Ещё хуже в этом смысле с примером перехода от геометрии к анализу. Мне всегда представлялось, что отличие от эмпирических наук тут совершенно драматическое, ибо нетривиальные изменения доктрины происходят лишь на мета-уровне (а на уровне научного знания как такового характер изменения кумулятивен), - а между тем математику многие философы науки пытаются стричь под одну гребёнку с науками эмпирическими. Было бы интересно услышать пояснения от профессионала.

From:

Нет, математику никто не пытается стричь под одну гребенку с эмпирическими науками! Понятно, что отличия будут принцпиальны. Однако, если мы определим парадигму как принятый набор методов, постановки задач, концептуальных понятий и еще несколько пунктов по Куну, то почему бы не поискать в математике моменты смены методов, понятий и т.п.? Далее начинаются более тонкие разборки, но идея в целом совсем не запрещенная. И вот переход от геометрического способа постановки задач сначала к аналитической геометрии, а потом к функциям и анализу - этот момент вполне можно рассматривать как смену парадигмы. Другое дело, что, конечно, Кун требует, чтобы часть эмпирического материала при переходе к новой парадигме делалась нерелевантной (и оттого парадигмы несоизмеримы), а в математике этого не происходит. Ну так отличие, да. Обычно мы на этом с аспирантами и решаем: кое в чем что-то напоминающее парадигмы есть, а кое в чем нет :))

From:

кое в чем что-то напоминающее парадигмы есть, а кое в чем нет

Если бы философы науки ограничивались этим выводом, обсуждая математику, вряд ли бы тут были такие жаркие дискуссии :-) К сожалению, у меня куда-то затерялся текст, который я написал в жанре реферата некогда, с разбором статей из сборника, целью которого было выяснить, существуют ли революции в математике. Но общее впечатление довольно сильное - когда речь заходит о конкретных математических фактах, авторы тех статей позволяли себе делать, мягко говоря, малоосмысленные утверждения, которые в итоге сильно влияли на осмысленность выводов...

From:

Не все ограничиваются - это факт.
А что Вам попался за несчастный сборник, я не знаю, но думаю, что есть веские причины оставить его с миром и заняться чем-нибудь более осмысленным :)

From:

Сборник был вот этот: http://www.oup.com.au/titles/academic/maths/9780198514862 - не думаю, что это какие-то несерьёзные задворки философской науки, но если Вы как эксперт скажете иначе, я готов Вам немедленно поверить.

From:

Paolo Mancosu - кажется, единственное знакомое имя. Только имя и знакомо, и то что он из Берклии. Под его редакцией вышла книга, кстати, по математической практике. В самом вступлении говорится, что это такие "незамеченные" вопросы.

А вообще это как бы задача у философов такая, представить общий однородный взгляд на знание. Вот и стригут.

From:

А из всех философских взглядов на математику, какой Вам более по душе?

Как Вы видите природу математических объектов. Как Вы о них знаете определённые факты?

From:

Если коротко, то мне наиболее импонирует понимание математики как языка - в котором в грамматическую правильность высказывания дополнительно включена в качестве требования корректность всех логических выводов. В частности, "математические объекты" - это такие персонажи литературы, написанной на этом языке. Более точно и подробно про это можно писать много и долго, но не здесь и не сейчас.

From:

Т. е. язык, автоматически описывающий нечто как логически возможное.

А, например, если в язык включить требование некоторой эмпирической достоверности, то и физику можно назвать языком в таком смысле.

From:

А, например, если в язык включить требование некоторой эмпирической достоверности, то и физику можно назвать языком в таком смысле.

Про это надо спрашивать у работающих физиков. Свою точку зрения на математику я считаю в той или иной относящейся к делу, ибо являюсь математиком. Что до известных мне физиков, мне кажется, что они воспринимают физику связанной с объективной реальностью, и не хотели бы сводить её к грамматическим правилам, - но для надёжности Вам лучше спросить у физиков самому.

From:

Но ведь иногда возникает вопрос о принадлежности некоторого арифметического предложения языку математики. Например, гипотеза Гольдбаха, континуум-гипотеза... Тогда, какую мотивацию имеет математик, пытающийся понять, принадлежит ли данное предложение языку? Допустим, математик пишет "литературные произведения". Но что же до предложений, которые выразимы в языке арифметики, но про которые в определённый момент нельзя сказать, являются ли они частью математики-языка?

Просто, разумеется, с платонистской точки зрения на этот вопрос гораздо проще ответить. И, например, Гёдель и Харди были платонистами.

From:

Грамматика математического языка имеет разный набор требований для гипотезы и для доказательства. В этом нет никакого вреда, если статус каждого высказывания внятно сформулирован. Странно, что это нужно как-то специально пояснять. (Впрочем, это лишь иллюстрирует сказанное мной выше, что точно и подробно про это дело писать довольно долго.)

Я, безусловно, считаю и Харди, и Гёделя выдающимися математиками, но вопреки теориям социологов, не готов из-за этого автоматически признавать их безусловными авторитетами по любым вопросам. Так что Ваше name-dropping тут мимо кассы.

(no subject)

From:

slavikmad.livejournal.com - Date: 2010-03-31 01:24 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From:

etre-moral.livejournal.com - Date: 2010-03-31 01:41 pm (UTC) - Expand

From:

P.S. - кроме того, Вы несколько лукавите по части топологии и алгебры - оба эти раздела математики в историческом контексте являются весьма нетривиальными источниками кардинально нового взгляда на вещи, вполне-таки изменения парадигмы. Впрочем, если Вы не уделяете этому внимания из-за бессмысленности по причине низкого уровня аспирантов, это очень понятно.

From:

У нас эта тема - дискуссия))) Что сами аспиранты скажут, то и обсуждается, а другие им возражают. Я же говорю, всегда во всех группах бывают противоположные мнения. А уровень аспирантов, настаиваю, не низкий ))))

From:

А уровень аспирантов, настаиваю, не низкий ))))

Давайте мы разделим всё же сферы компетенции - я Вам поверю про то, что не все философы хотят применять методики изучения эмпирических наук для обсуждения философии математики, а Вы мне поверите, что уровень общего математического образования среднего аспиранта мехмата сильно оставляет желать лучшего...

From:

ОК

From:

sowa.livejournal.com

"уровень общего математического образования среднего аспиранта мехмата сильно оставляет желать лучшего..."

Да что там аспиранта - уровень общего образования типичного математика сильно оставляет желать лучшего. Именно типичного, а не среднего - уровень может быть и очень высок.

From:

buddha239.livejournal.com

Он низкий не по сравнению со средним по больнице - а по сравнению с тем, сколько надо знать о математике, чтобы рассуждения о ней не были беспочвенными.

From:

nikaan.livejournal.com

я готов подтвердить низкую образованность аспиранта на своём примере. Про геометрии, это да, никакой революции. Т.е. это ново и ценно, конечно, но не революция. А что там было у древних греков - никому не известно :) Ну т.е. нахождение сотни различий между математикой 2000 лет назад и сейчас увлекательно, но более для забавы, мне кажется. Лично я так и не понял, что в этом полезного для эпистемологии.

From: