Курс прочитан

[posic]

http://fizmatclub.spb.ru/forum/viewtopic.php?t=141
http://posic.livejournal.com/277811.html
http://udod.livejournal.com/40095.html
http://udod.livejournal.com/39843.html?thread=381091#t381091

Update: http://club.pdmi.ras.ru/moodle/course/view.php?id=10

Comments

[potap.livejournal.com]

Ура!

[posic.livejournal.com]

Кое-что я не успел рассказать из запланированного на сегодня, но это не очень важно.

[roma.livejournal.com]

a skol'ko bylo slushatelej, esli ne sekret?

[posic.livejournal.com]

Колебалось от 2 до 6, примерно так. Тут поскольку все записывается и запись можно посмотреть, возможности ходить через раз больше, чем на обычном курсе, который в аудитории с доской и мелом.

Говоря точнее, наблюдалась приблизительная периодичность с периодом 2. Лекции с нечетными номерами были про алгебры Ли, а с четными -- про полуалгебры над коалгебрами. Конечно, такая политика заранее не объявлялась и даже не предполагалась. Тем не менее, на нечетные лекции собиралось много слушателей, а на четные мало. Возможно, это так получалось из-за обратной связи -- по моему ощущению, четные лекции получились гораздо вразумительнее нечетных.

[justpasha.livejournal.com]

Я сейчас досматриваю эти лекции, которые, к сожалению, почему-то пропустил (хотя регулярно вроде просматривал места где они объявлялись).

Вопрос: у меня не укладывается в голове факт об универсальном центральном расширении Тейтовских алгебр Ли (по-моему, это на первой доске в первой лекции, там, к сожалению, вторая доска пропущена). То есть я пытаюсь смотреть на соответствующие места в Вашем тексте, на Архипова, на Бейлинсона-Дринфельда, вроде формально понятно, но все равно не укладывается.

Не укладывается вот почему: конкретные примеры Тейтовских алгебр Ли - формальных векторных полей и алгебр токов (а есть, кстати, еще какие-нибудь хорошие примеры?) имеют центральные расширения совершенно безотносительно их тейтовской структуры. Скажем, если в алгебре токов алгебру лорановских полиномов заменить на любую ассоциативную коммутативную алгебру, то будет то же центральное расширение. Однако все это должно как-то объясняться при помощи этой универсальной Тейтовской конструкции.

[posic.livejournal.com]

Может быть, вот какой момент полезно отметить: разница между взглядом на центральные расширения алгебр векторных полей/токов как присущие векторным полям/токам и взгляде на те же центральные расширения как присущие произвольным тейтовским алгебрам Ли отражается в разнице естественных нормировок этих центральных расширений. Например, для Вирасоро там вылезает пресловутая константа 26, а для Каца-Муди -- дуальное (кажется) число Кокстера или что-то такое. То есть вот эти вирасоровские 26 или 26/12 или что там оказываются единицей в нормировке канонического центрального расширения тейтовской алгебры Ли.

Там может быть дело в том, что каноническое центральное расширение тейтовской алгебры Ли индуцируется с ее присоединенного представления, в то время как у конкретных алгебр Ли часто бывают и более простые и естественные представления, чем присоединенное. А может быть, дело не только в этом. Так или иначе, я, к сожалению, совсем небольшой специалист по этим центральным расширениям, тем более с коэффициентами в произвольной коммутативной алгебре и т.д. Это очень популярная тема, о ней написано множество статей, в том числе и очень знаменитыми людьми. Кажется, включая Делиня.

Кроме того, надо сказать, что наше с Сережей доказательство факта возникновения канонического центрального расширения при сравнении левой и правой полуалгебр, связанных с тейтовской парой Хариш-Чандры, является чисто вычислительным. Никакого хорошего, прозрачного, концептуального и т.д. объяснения этому явлению науке не известно. Если не считать таковым совсем уж расплывчатые и ни к какому строгому аргументу не привязанные слова о том, что каноническое центральное расширение является высшим аналогом следового характера [а след присоединенного представления отвечает за разницу между формами объема и функциями (на алгебраической группе), а формы объема отвечают за разницу между левыми и правыми D-модулями, а переход от левых к правым D-модулям нужен для свободной манипуляции их прямыми и обратными образами (которые подразумеваются в конструкции полуалгебры, связанной с формальной окрестностью замкнутой подгруппы в алгебраической группе)].

[posic.livejournal.com]

Может быть, будет полезнее, если я в дополнение к потоку сознания выше напишу нечто короткое и внятное. У любой конечномерной алгебры Ли есть естественное одномерное представление -- старшая внешняя степень присоединенного. Ему соответствует класс первых когомологий с тривиальными коэффициентами, задаваемый 1-коциклом -- следом присоединенного действия. Тейтовские алгебры Ли в известном смысле "одним уровнем выше" конечномерных, и утверждается, что аналогом этого класса первых когомологий у конечномерных алгебр Ли является некоторый канонический класс вторых когомологий у тейтовских. Этот класс вторых когомологий с постоянными коэффициентами соотвествует каноническому центральному расширению.

[justpasha.livejournal.com]

Да, спасибо. Мне, видимо, надо еще над всем этом помедитировать.

А вот, скажем у примера который Вы приводили и который обобщает алгебры векторных полей на прямой и токов - когда берется обычная градуированная алгебра Ли и справа прямая сумма заменяется на прямое произведение - для них можно как-то это центральное расширение явно выписать?

[justpasha.livejournal.com]

Тейтовские алгебры Ли в известном смысле "одним уровнем выше" конечномерных.

Вот, кстати, видимо, один из ключевых моментов. Мне тейтовские алгебры Ли мыслятся как всего лишь алгебры Ли с некоторой дополнительной структурой, а это, видимо, идеологически неверно. (Я сейчас досматриваю последнюю лекцию где Вы еще всякое такое об этих центральных расширениях говорите).

[posic.livejournal.com]

Тут дело даже не в алгебрах Ли, а в векторных пространствах. Тейтовское векторное пространство -- это такое достаточно хорошее инд-про-конечномерное векторное пространство (формальный индуктивный предел формальных проективных пределов конечномерных). Рассматривать его как просто векторное пространство (т.е. инд-конечномерное векторное пространство) с дополнительной структурой (топологией) менее правильно, да.

Чтобы подняться еще на уровень выше, надо рассмотреть инд-про-инд-про-конечномерные векторные пространства. У структур алгебр Ли на таких пространствах будет, видимо, канонический класс третьих когомологий.

[posic.livejournal.com]

Наверняка можно, конечно. Если тейтовская алгебра Ли разложена в прямую сумму дискретного и компактного подпространств, то у канонического центрального расширения возникает сечение, так что однозначно определен канонический 2-коцикл (не просто с точностью до кограницы, а именно сам коцикл). Выписывание явных формул для него можно считать упражнением (в каком-то виде ответ содержится в стандартных текстах).