Может быть, будет полезнее, если я в дополнение к потоку сознания выше напишу нечто короткое и внятное. У любой конечномерной алгебры Ли есть естественное одномерное представление -- старшая внешняя степень присоединенного. Ему соответствует класс первых когомологий с тривиальными коэффициентами, задаваемый 1-коциклом -- следом присоединенного действия. Тейтовские алгебры Ли в известном смысле "одним уровнем выше" конечномерных, и утверждается, что аналогом этого класса первых когомологий у конечномерных алгебр Ли является некоторый канонический класс вторых когомологий у тейтовских. Этот класс вторых когомологий с постоянными коэффициентами соотвествует каноническому центральному расширению.
Да, спасибо. Мне, видимо, надо еще над всем этом помедитировать.
А вот, скажем у примера который Вы приводили и который обобщает алгебры векторных полей на прямой и токов - когда берется обычная градуированная алгебра Ли и справа прямая сумма заменяется на прямое произведение - для них можно как-то это центральное расширение явно выписать?
Наверняка можно, конечно. Если тейтовская алгебра Ли разложена в прямую сумму дискретного и компактного подпространств, то у канонического центрального расширения возникает сечение, так что однозначно определен канонический 2-коцикл (не просто с точностью до кограницы, а именно сам коцикл). Выписывание явных формул для него можно считать упражнением (в каком-то виде ответ содержится в стандартных текстах).
Тейтовские алгебры Ли в известном смысле "одним уровнем выше" конечномерных.
Вот, кстати, видимо, один из ключевых моментов. Мне тейтовские алгебры Ли мыслятся как всего лишь алгебры Ли с некоторой дополнительной структурой, а это, видимо, идеологически неверно. (Я сейчас досматриваю последнюю лекцию где Вы еще всякое такое об этих центральных расширениях говорите).
Тут дело даже не в алгебрах Ли, а в векторных пространствах. Тейтовское векторное пространство -- это такое достаточно хорошее инд-про-конечномерное векторное пространство (формальный индуктивный предел формальных проективных пределов конечномерных). Рассматривать его как просто векторное пространство (т.е. инд-конечномерное векторное пространство) с дополнительной структурой (топологией) менее правильно, да.
Чтобы подняться еще на уровень выше, надо рассмотреть инд-про-инд-про-конечномерные векторные пространства. У структур алгебр Ли на таких пространствах будет, видимо, канонический класс третьих когомологий.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2009-09-29 10:21 pm (UTC)no subject
Date: 2009-09-30 06:02 am (UTC)А вот, скажем у примера который Вы приводили и который обобщает алгебры векторных полей на прямой и токов - когда берется обычная градуированная алгебра Ли и справа прямая сумма заменяется на прямое произведение - для них можно как-то это центральное расширение явно выписать?
no subject
Date: 2009-09-30 09:53 am (UTC)no subject
Date: 2009-09-30 07:42 am (UTC)Вот, кстати, видимо, один из ключевых моментов. Мне тейтовские алгебры Ли мыслятся как всего лишь алгебры Ли с некоторой дополнительной структурой, а это, видимо, идеологически неверно. (Я сейчас досматриваю последнюю лекцию где Вы еще всякое такое об этих центральных расширениях говорите).
no subject
Date: 2009-09-30 09:48 am (UTC)Чтобы подняться еще на уровень выше, надо рассмотреть инд-про-инд-про-конечномерные векторные пространства. У структур алгебр Ли на таких пространствах будет, видимо, канонический класс третьих когомологий.