Относительная неоднородная кошулева двойственность - 2

Пусть X -- схема, рассматриваемая либо в топологии Зарисского, либо в этальной топологии (как вариант, в чем-то даже самый лучший, можно считать X комплексно-аналитическим пространством, но тут надо знать что-то про аналитические пучки, чего я не). Престэком градуированных колец на X называется следующий набор данных:

- каждому открытому подмножеству в X (соотв., схеме, этальной над X) сопоставляется градуированное кольцо;
- каждому вложению открытых подмножеств (морфизму схем, этальных над X) сопоставляется морфизм градуированных колец;
- каждой цепочке из трех вложенных открытых подмножеств сопоставляется обратимый элемент степени ноль в градуированном кольце, соответствующем меньшему из этих трех открытых подмножеств, такой что композиция морфизмов градуированных колец, соответствующая двум вложениям, отличается от морфизма, соответствующего сквозному вложению, на внутренний автоморфизм, связанный с этим элементом.

При этом для каждой цепочки из четырех вложенных открытых подмножеств должно выполняться "уравнение коцикла" (одно произведение двух обратимых элементов степени ноль равно другому), связанное с двумя способами разбить квадрат на два треугольника.

Престэк градуированных колец на X называется стэком, если для любого покрытия одного открытого подмножества в X другими открытыми подмножествами кольцо, связанное с большим открытым подмножествам, восстанавливается по кольцам, связанным с открытыми подмножествами, образующими покрытие, и их парными пересечениями по правилу, похожему на обычную аксиому пучка. Первое условие состоит в том, что элемент кольца над большим открытым подмножествам однозначно восстанавливается по своим "квазиограничениям" на открытые подмножества, образующие покрытие; ну и второе условие похоже на обычное (нужно только правильно учесть подкрутки на внутренние автоморфизмы в формулировке условий согласования на парных пересечениях).

Престэком градуированных O_X-алгебр называется престэк градуированных колец на X, такой что для каждого открытого подмножества в X задано отображение в нулевую компоненту центра соответствующего градуированного кольца из кольца регулярных функций на этом открытом подмножестве, согласованное с отображениями ограничения регулярных функций и квазиограничения сечений престэка. Стэком градуированных O_X-алгебр называется престэк градуированных O_X-алгебр, являющийся стэком градуированных колец. Стэк градуированных O_X-алгебр называется квазикогерентным, если для любых двух вложенных открытых подмножеств X, являющихся аффинными схемами, отображение квазиограничения отождествляет градуированное кольцо, связанное с меньшим открытым подмножеством, с расширением скаляров с помощью отображения ограничения на регулярных функциях в кольце, связанном с большим открытым подмножеством.

Как известно, пучок модулей над структурным пучком схемы однозначно определяется своим ограничением на аффинные открытые подсхемы, а на последних условие квазикогерентности влечет аксиомы пучка, которых достаточно для продолжимости до пучка модулей, определенного на всех открытых подмножествах. Эти утверждения имеют следующие аналоги для стэков градуированных колец.

Во-первых, пусть для некоторой базы топологии X заданы градуированные кольца, соответствующие открытым подмножествам X, принадлежащим базе, для двух любых вложенных открытых подмножеств X, принадлежащих базе, заданы отображения квазиограничения, плюс для каждой тройки вложенных открытых подмножеств X, самое меньшее из которых принадлежит базе, заданы обратимые элементы степени ноль, удовлетворяющие "уравнению коцикла" и условию, связанному с композициями отображений квазиограничения в тройке вложенных открытых подмножеств, принадлежащих базе.

Предположим далее, что аксиомы стэка выполнены для покрытия открытого подмножества X, принадлежащего базе, другими открытыми подмножествами, принадлежащими базе. Тогда такой набор данных однозначно продолжается до стэка градуированных колец, заданного на всех открытых подмножествах X. Если при этом для каждого открытого подмножества из базы задано отображение в нулевую компоненту центра соответствующего градуированного кольца из кольца регулярных функций на этом открытом подмножестве, и такие отображения согласованы с отображениями (квази)ограничения, связанными с парами вложенных открытых подмножеств из базы, то результатом продолжения на все открытые подмножества X становится стек градуированных O_X-алгебр.

Во-вторых, допустим, что наша база состоит из аффинных открытых подмножеств в X. Тогда если гомоморфизмы колец, о которых идет речь в последней фразе предыдущего абзаца, заданы в ситуации, описанной в предпредыдущем абзаце, и при этом для любой пары вложенных открытых подмножеств X, принадлежащих базе, выполнено условие квазикогерентности, то аксиомы стэка выполняются для любого покрытия открытого подмножества X, принадлежащего базе, другими открытыми подмножествами, принадлежащими базе. Таким образом, наш набор данных продолжается до квазикогерентного стэка градуированных O_X-алгебр.

Из подзамочного обсуждения вопросов бесконечности рожденное

Мои комменты из-под замка:

0. <...> а вот после бесконечности идет число "бесконечность плюс один".

Один, два, три, ..., эн, ..., бесконечность, бесконечность плюс один, бесконечность плюс два, ..., бесконечность плюс эн, ..., бесконечность плюс бесконечность (она же "бесконечность умножить на два"), бесконечность плюс бесконечность плюс один, бесконечность плюс бесконечность плюс два, ..., бесконечность плюс бесконечность плюс бесконечность (она же "бесконечность умножить на три"), ..., бесконечность умножить на бесконечность, (бесконечность умножить на бесконечность) плюс один, ...

Эта математическая конструкция называется "ряд ординалов".

1. <...> И вообще, числовой ряд имеет вид:

ноль, один, два, ..., эн, ...

..., бесконечность пополам минус эн, ..., бесконечность пополам минус два, бесконечность пополам минус один, бесконечность пополам, бесконечность пополам плюс один, бесконечность пополам плюс два, ..., бесконечность пополам плюс эн, ...

..., бесконечность минус эн, ..., бесконечность минус два, бесконечность минус один, бесконечность.

Как в полубесконечных (ко)гомологиях.

***

Будем считать обычные когомологии (скажем, алгебр Ли) занумерованными индексами ноль, один, два, ..., эн, ... Обычные гомологии -- индексами ..., бесконечность минус эн, ..., бесконечность минус два, бесконечность минус один, бесконечность. А полубесконечные гомологии и когомологии -- естественно, индексами ..., бесконечность пополам минус эн, ..., бесконечность пополам минус два, бесконечность пополам минус один, бесконечность пополам, бесконечность пополам плюс один, бесконечность пополам плюс два, ..., бесконечность пополам плюс эн, ...

На какую мысль наводит нас эта картина? Конечно, на мысль о (ко)гомологических умножениях. Умножение в когомологиях и действие когомологий в гомологиях -- согласованы с такой градуировкой-индексацией "бесконечностями". Но как насчет мультипликативных операций в полубесконечных (ко)гомологиях?

Ясно, что обычные когомологии действуют на полубесконечных гомологиях и когомологиях; это мы всегда знали. Нарисованная картина, однако, подсказывает мысль о еще одной мультипликативной операции -- умножении полубесконечных гомологий на полубесконечные когомологии с получением классов обычных гомологий. И действительно...

***

Пусть S -- полуалгебра над коалгеброй или кокольцом (удовлетворяющая обычным условиям). Пусть N -- правый S-полумодуль, M -- левый S-полумодуль, P -- левый S-полуконтрамодуль (или комплексы таковых). Пусть заданы классы гомологий t в SemiTor^S(N,M) и когомологий ξ в SemiExt_S(M,P). Мы хотим построить по ним нечто, заслуживающее наименования "класса обычных гомологий".

Ну, в самом деле, пусть LΦ обозначает производный функтор "ко-контра соответствия", преобразующий комплексы левых S-полуконтрамодулей в комплексы левых S-полумодулей. Тогда класс ξ можно интерпретировать как морфизм M → LΦ(P) в полупроизводной категории левых S-полумодулей. Применяя этот морфизм к классу полубесконечных гомологий t, получаем элемент ξ(t) в группе SemiTor^S(N,LΦ(P)).

Последняя, как известно, изоморфна CtrTor^S(N,P). Но CtrTor -- это и есть самые обычные гомологии! Левый производный функтор точного справа функтора контратензорного произведения -- ближайшего аналога обычного тензорного произведения в мире полубесконечных модульных объектов.

Ура! (Но почему я не придумал этого пять лет назад?)

Относительная неоднородная кошулева двойственность - 3

Престэком фильтрованных колец на X называется следующий набор данных:

- каждому открытому подмножеству в X (соотв., схеме, этальной над X) сопоставляется фильтрованное кольцо с возрастающей фильтрацией неотрицательными целыми числами;
- каждому вложению открытых подмножеств сопоставляется морфизм фильтрованных колец;
- каждой цепочке из трех вложенных открытых подмножеств сопоставляется обратимый элемент в нулевой компоненте фильтрации кольца, соответствующего меньшему из этих трех открытых подмножеств, такой что композиция морфизмов фильтрованных колец, соответствующая двум вложениям, отличается от морфизма, соответствующего сквозному вложению, на внутренний автоморфизм, связанный с этим элементом.

При этом для каждой цепочки из четырех вложенных открытых подмножеств должно выполняться "уравнение коцикла" для соответствующих обратимых элементов в нулевых компонентах фильтрации.

С престэком фильтрованных колец связан его престэк ассоциированных градуированных колец. Будем называть строгим стэком фильтрованных колец на X престэк фильтрованных колец, такой что соответствующий престэк ассоциированных градуированных колец является стэком градуированнх колец. (Нестрогим) стэком фильтрованных колец на X называется престэк фильтрованных колец, такой что для любого покрытия одного открытого подмножества в X другими открытыми подмножествами фильтрованное кольцо, связанное с большим открытым подмножествам, восстанавливается по фильтрованным кольцам, связанным с открытыми подмножествами, образующими покрытие, и их парными пересечениями по правилу, похожему на обычную аксиому пучка.

Престэком фильтрованных O_X-квазиалгебр называется престэк фильтрованных колец на X, такой что его престэк ассоциированных градуированных колец снабжен структурой престэка градуированных O_X-алгебр. Другими словами, для каждого открытого подмножества в X должно быть задано отображение в нулевую компоненту фильтрации соответствующего фильтрованного кольца из кольца регулярных функций на этом открытом подмножестве, образ которого попадает в центр присоединенного градуированного кольца. (Строгим или нестрогим) стэком фильтрованных O_X-квазиалгебр называется престэк фильтрованных O_X-квазиалгебр, являющийся (соответственно, строгим или нестрогим) стэком фильтрованных колец.

Стэк фильтрованных O_X-квазиалгебр P называется квазикогерентным, если выполнено одно из следующих трех эквивалентных условий:

- для любых вложенных аффинных открытых подмножеств V ⊂ U в X, естественное отображение O(V) ⊗_O(U) P(U) → P(V) является изоморфизмом фильтрованных левых O(V)-модулей;
- для любых вложенных аффинных открытых подмножеств V ⊂ U в X, естественное отображение P(U) ⊗_O(U) O(V) → P(V) является изоморфизмом фильтрованных правых O(V)-модулей;
- для любых вложенных аффинных открытых подмножеств V ⊂ U в X, естественное отображение O(V) ⊗_O(U) gr^FP(U) → gr^FP(V) является изоморфизмом градуированных O(V)-алгебр.

Аналоги утверждений про восстановление стэков градуированных колец и O_X-алгебр по их ограничениям на базу открытых подмножеств в X и то, что аксиомы стека для покрытия аффинного открытого подмножества другими аффинными открытыми подмножествами вытекают из условия квазикогерентности, приведенных в конце постинга http://posic.livejournal.com/1009260.html , выполнены для нестрогих стэков фильтрованных колец и O_X-квазиалгебр.

Относительная неоднородная кошулева двойственность (набросок) - 4

Далее в этой теории должны следовать определения:

- престэка и стэка CDG-колец над X, престэка и стэка CDG-алгебр над O_X, квазикогерентного стэка CDG-алгебр над O_X;

- предпучка градуированных модулей над престэком градуированных колец, пучка градуированных модулей над стэком градуированных колец, квазикогерентного пучка градуированных модулей над квазикогерентным стэком градуированных O_X-алгебр;

- предпучка модулей над престэком фильтрованных колец, пучка модулей над стэком фильтрованных колец, квазикогерентного пучка модулей над квазикогерентным стэком фильтрованных O_X-квазиалгебр;

- предпучка CDG-модулей над престэком CDG-колец, пучка CDG-модулей над стэком CDG-колец, квазикогерентного пучка CDG-модулей над квазикогерентным стэком CDG-алгебр над O_X;

- копредпучка градуированных модулей над престэком градуированных колец, копучка градуированных модулей над стэком градуированных колец, контрагерентного и локально контрагерентного копучка градуированных модулей над квазикогерентным стэком градуированных O_X-алгебр;

- копредпучка модулей над престэком фильтрованных колец, копучка модулей над стэком фильтрованных колец, контрагерентного и локально контрагерентного копучка модулей над квазикогерентным стэком фильтрованных O_X-квазиалгебр;

- копредпучка CDG-модулей над престэком CDG-колец, копучка CDG-модулей над стэком CDG-колец, контрагерентного и локально контрагерентного копучка CDG-модулей над квазикогерентным стэком CDG-алгебр над O_X.

Это еще не все, поскольку на самом деле нужны определения

- предпучка градуированных комодулей над престэком неотрицательно градуированных колец, пучка градуированных комодулей над стэком неотрицательно градуированных колец, квазикогерентного пучка градуированных комодулей над квазикогерентным стэком неотрицательно градуированных O_X-алгебр, и

- копредпучка градуированных контрамодулей над престэком неотрицательно градуированных колец, копучка градуированных контрамодулей над стэком неотрицательно градуированных колец, контрагерентного и локально контрагерентного копучка градуированных контрамодулей над квазикогерентным стэком неотрицательно градуированных O_X-алгебр,

вместе с соответствующими CDG-версиями. Теперь, в терминах этих определений, должны формулироваться глобальные (в смысле, неаффинные) версии (по возможности) всех результатов из начального постинга http://posic.livejournal.com/1009055.html .

В роли тематических примеров к этой теории выступали бы, конечно, во-первых, скрученные дифференциальные операторы (в том числе, в векторных расслоениях ранга, большего единицы), и во-вторых, обертывающие алгебры алгеброидов Ли. Дополнительные примеры (в частности, ситуаций, в которых проявляется разница между CDG-модулями и CDG-ко/контрамодулями) могут связаны с супералгеброидами Ли и т.п.

Относительная неоднородная кошулева двойственность: заключение

Одно естественное направление обобщения намеченной в этой серии постингов теории -- это замена фильтрованной (квази)алгебры A~ на что-то вроде DG-алгебры или фильтрованной DG-алгебры. Если пользоваться, как мы здесь пользовались, контравариантной двойственностью на уровне алгебр (в противоположность модулям), то первая трудность, в которую уперлось бы такое обобщение -- это локальная (по градуировке/фильтрации) конечная порожденность и ее сохранение при тензорных операциях. Этой проблемы не возникает, если ограничиться, скажем, неположительно когомологически градуированными фильтрованными DG-кольцами.

Кроме того, для того, чтобы такой теорией можно было пользоваться, она должна была бы, видимо, включать какой-то treatment квазиизоморфизмов между DG-(квази)алгебрами A~ и, может быть, слабых эквивалентностей между CDG-коалгебрами B. Дело это непростое даже в ситуации над полем, а в относительной ситуации я, кажется, вообще еще об этом не думал.

Переход к ковариантной двойственности на уровне алгебр предполагал бы необходимость иметь дело с квазидифференциальными кокольцами вместо CDG-колец. Штуки это сильно контринтуитивные и работать с ними поэтому нелегко (в частности, хотя на первый взгляд может показаться, что они упрощали бы формулировку ко-контра соответствия в начальном постинге, но реализовать эти упрощения оказалось для меня в свое время непосильной задачей).

Совсем другой вопрос -- что будет, если заменить кольцо на коалгебру над полем в роли базы наших относительных двойственностей. Тогда ситуация становится автоматически локальной (и даже в каком-то смысле инд-нульмерной), никаких пучков и стеков не возникает. В общем, это совсем другая теория; если писать статью по этим наброскам, случай базового кольца можно было бы рассмотреть в основном массиве текста, а про базовую коалгебру сделать приложение.

Теория с базовой коалгеброй естественным образом целиком ковариантна, так что трудность, описанная в первом абзаце этого постинга, в ней не возникает. Может быть, там можно было бы иметь достаточного общего вида DG-полуалгебры с одной стороны и CDG-коалгебры с другой.

Update: понятие, похожее на наши "квазикогерентные пучки модулей над квазикогерентным стэком O_X-алгебр" появлялось в литературе под именем "скрученных пучков", twisted sheaves. См. диссертацию Андрея Сальдарару "Derived categories of twisted sheaves on Calabi-Yau manifolds" http://www.math.wisc.edu/~andreic/publications/ThesisSingleSpaced.pdf и препринт Макса Либлиха http://arxiv.org/abs/math/0411337 .

Источником этих ссылок является изложение де Йонга ("A result of Gabber", http://www.math.columbia.edu/~dejong/papers/2-gabber.pdf ) важного результата Габбера о группах Брауэра схем (группа классов эквивалентности алгебр Адзумаи над квазипроективной схемой изоморфна подгруппе кручения во вторых этальных когомологиях с коэффициентами в G_m; для схем более общего вида было известно раньше, что первая является подгруппой второй). См. также неоконченное изложение Гунеласа (Frank Gounelas, Gabber’s theorem on Brauer groups of schemes, http://www.mathi.uni-heidelberg.de/~gounelas/projects/gabber-brauer.pdf ).

По поводу скрученных пучков, см. также
- Lieblich "On the ubiquity of twisted sheaves", http://www.cims.nyu.edu/~tschinke/books/simons12/lieblich.pdf
- его же "Moduli of twisted sheaves and generalized Azumaya algebras" (диссертация), http://dspace.mit.edu/handle/1721.1/30145
- J. Heinloth and S. Schroer, The bigger Brauer group and twisted sheaves, http://staff.science.uva.nl/~heinloth/brauer.pdf
- (последняя) глава 19 "Stacks and Twisted Sheaves" в книге Кашивара-Шапира "Categories and Sheaves"
и т.д.