![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicМои комменты из-под замка:
0. <...> а вот после бесконечности идет число "бесконечность плюс один".
Один, два, три, ..., эн, ..., бесконечность, бесконечность плюс один, бесконечность плюс два, ..., бесконечность плюс эн, ..., бесконечность плюс бесконечность (она же "бесконечность умножить на два"), бесконечность плюс бесконечность плюс один, бесконечность плюс бесконечность плюс два, ..., бесконечность плюс бесконечность плюс бесконечность (она же "бесконечность умножить на три"), ..., бесконечность умножить на бесконечность, (бесконечность умножить на бесконечность) плюс один, ...
Эта математическая конструкция называется "ряд ординалов".
1. <...> И вообще, числовой ряд имеет вид:
ноль, один, два, ..., эн, ...
..., бесконечность пополам минус эн, ..., бесконечность пополам минус два, бесконечность пополам минус один, бесконечность пополам, бесконечность пополам плюс один, бесконечность пополам плюс два, ..., бесконечность пополам плюс эн, ...
..., бесконечность минус эн, ..., бесконечность минус два, бесконечность минус один, бесконечность.
Как в полубесконечных (ко)гомологиях.
***
Будем считать обычные когомологии (скажем, алгебр Ли) занумерованными индексами ноль, один, два, ..., эн, ... Обычные гомологии -- индексами ..., бесконечность минус эн, ..., бесконечность минус два, бесконечность минус один, бесконечность. А полубесконечные гомологии и когомологии -- естественно, индексами ..., бесконечность пополам минус эн, ..., бесконечность пополам минус два, бесконечность пополам минус один, бесконечность пополам, бесконечность пополам плюс один, бесконечность пополам плюс два, ..., бесконечность пополам плюс эн, ...
На какую мысль наводит нас эта картина? Конечно, на мысль о (ко)гомологических умножениях. Умножение в когомологиях и действие когомологий в гомологиях -- согласованы с такой градуировкой-индексацией "бесконечностями". Но как насчет мультипликативных операций в полубесконечных (ко)гомологиях?
Ясно, что обычные когомологии действуют на полубесконечных гомологиях и когомологиях; это мы всегда знали. Нарисованная картина, однако, подсказывает мысль о еще одной мультипликативной операции -- умножении полубесконечных гомологий на полубесконечные когомологии с получением классов обычных гомологий. И действительно...
***
Пусть S -- полуалгебра над коалгеброй или кокольцом (удовлетворяющая обычным условиям). Пусть N -- правый S-полумодуль, M -- левый S-полумодуль, P -- левый S-полуконтрамодуль (или комплексы таковых). Пусть заданы классы гомологий t в SemiTorS(N,M) и когомологий ξ в SemiExtS(M,P). Мы хотим построить по ним нечто, заслуживающее наименования "класса обычных гомологий".
Ну, в самом деле, пусть LΦ обозначает производный функтор "ко-контра соответствия", преобразующий комплексы левых S-полуконтрамодулей в комплексы левых S-полумодулей. Тогда класс ξ можно интерпретировать как морфизм M → LΦ(P) в полупроизводной категории левых S-полумодулей. Применяя этот морфизм к классу полубесконечных гомологий t, получаем элемент ξ(t) в группе SemiTorS(N,LΦ(P)).
Последняя, как известно, изоморфна CtrTorS(N,P). Но CtrTor -- это и есть самые обычные гомологии! Левый производный функтор точного справа функтора контратензорного произведения -- ближайшего аналога обычного тензорного произведения в мире полубесконечных модульных объектов.
Ура! (Но почему я не придумал этого пять лет назад?)
0. <...> а вот после бесконечности идет число "бесконечность плюс один".
Один, два, три, ..., эн, ..., бесконечность, бесконечность плюс один, бесконечность плюс два, ..., бесконечность плюс эн, ..., бесконечность плюс бесконечность (она же "бесконечность умножить на два"), бесконечность плюс бесконечность плюс один, бесконечность плюс бесконечность плюс два, ..., бесконечность плюс бесконечность плюс бесконечность (она же "бесконечность умножить на три"), ..., бесконечность умножить на бесконечность, (бесконечность умножить на бесконечность) плюс один, ...
Эта математическая конструкция называется "ряд ординалов".
1. <...> И вообще, числовой ряд имеет вид:
ноль, один, два, ..., эн, ...
..., бесконечность пополам минус эн, ..., бесконечность пополам минус два, бесконечность пополам минус один, бесконечность пополам, бесконечность пополам плюс один, бесконечность пополам плюс два, ..., бесконечность пополам плюс эн, ...
..., бесконечность минус эн, ..., бесконечность минус два, бесконечность минус один, бесконечность.
Как в полубесконечных (ко)гомологиях.
***
Будем считать обычные когомологии (скажем, алгебр Ли) занумерованными индексами ноль, один, два, ..., эн, ... Обычные гомологии -- индексами ..., бесконечность минус эн, ..., бесконечность минус два, бесконечность минус один, бесконечность. А полубесконечные гомологии и когомологии -- естественно, индексами ..., бесконечность пополам минус эн, ..., бесконечность пополам минус два, бесконечность пополам минус один, бесконечность пополам, бесконечность пополам плюс один, бесконечность пополам плюс два, ..., бесконечность пополам плюс эн, ...
На какую мысль наводит нас эта картина? Конечно, на мысль о (ко)гомологических умножениях. Умножение в когомологиях и действие когомологий в гомологиях -- согласованы с такой градуировкой-индексацией "бесконечностями". Но как насчет мультипликативных операций в полубесконечных (ко)гомологиях?
Ясно, что обычные когомологии действуют на полубесконечных гомологиях и когомологиях; это мы всегда знали. Нарисованная картина, однако, подсказывает мысль о еще одной мультипликативной операции -- умножении полубесконечных гомологий на полубесконечные когомологии с получением классов обычных гомологий. И действительно...
***
Пусть S -- полуалгебра над коалгеброй или кокольцом (удовлетворяющая обычным условиям). Пусть N -- правый S-полумодуль, M -- левый S-полумодуль, P -- левый S-полуконтрамодуль (или комплексы таковых). Пусть заданы классы гомологий t в SemiTorS(N,M) и когомологий ξ в SemiExtS(M,P). Мы хотим построить по ним нечто, заслуживающее наименования "класса обычных гомологий".
Ну, в самом деле, пусть LΦ обозначает производный функтор "ко-контра соответствия", преобразующий комплексы левых S-полуконтрамодулей в комплексы левых S-полумодулей. Тогда класс ξ можно интерпретировать как морфизм M → LΦ(P) в полупроизводной категории левых S-полумодулей. Применяя этот морфизм к классу полубесконечных гомологий t, получаем элемент ξ(t) в группе SemiTorS(N,LΦ(P)).
Последняя, как известно, изоморфна CtrTorS(N,P). Но CtrTor -- это и есть самые обычные гомологии! Левый производный функтор точного справа функтора контратензорного произведения -- ближайшего аналога обычного тензорного произведения в мире полубесконечных модульных объектов.
Ура! (Но почему я не придумал этого пять лет назад?)
