![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicОдно естественное направление обобщения намеченной в этой серии постингов теории -- это замена фильтрованной (квази)алгебры A~ на что-то вроде DG-алгебры или фильтрованной DG-алгебры. Если пользоваться, как мы здесь пользовались, контравариантной двойственностью на уровне алгебр (в противоположность модулям), то первая трудность, в которую уперлось бы такое обобщение -- это локальная (по градуировке/фильтрации) конечная порожденность и ее сохранение при тензорных операциях. Этой проблемы не возникает, если ограничиться, скажем, неположительно когомологически градуированными фильтрованными DG-кольцами.
Кроме того, для того, чтобы такой теорией можно было пользоваться, она должна была бы, видимо, включать какой-то treatment квазиизоморфизмов между DG-(квази)алгебрами A~ и, может быть, слабых эквивалентностей между CDG-коалгебрами B. Дело это непростое даже в ситуации над полем, а в относительной ситуации я, кажется, вообще еще об этом не думал.
Переход к ковариантной двойственности на уровне алгебр предполагал бы необходимость иметь дело с квазидифференциальными кокольцами вместо CDG-колец. Штуки это сильно контринтуитивные и работать с ними поэтому нелегко (в частности, хотя на первый взгляд может показаться, что они упрощали бы формулировку ко-контра соответствия в начальном постинге, но реализовать эти упрощения оказалось для меня в свое время непосильной задачей).
Совсем другой вопрос -- что будет, если заменить кольцо на коалгебру над полем в роли базы наших относительных двойственностей. Тогда ситуация становится автоматически локальной (и даже в каком-то смысле инд-нульмерной), никаких пучков и стеков не возникает. В общем, это совсем другая теория; если писать статью по этим наброскам, случай базового кольца можно было бы рассмотреть в основном массиве текста, а про базовую коалгебру сделать приложение.
Теория с базовой коалгеброй естественным образом целиком ковариантна, так что трудность, описанная в первом абзаце этого постинга, в ней не возникает. Может быть, там можно было бы иметь достаточного общего вида DG-полуалгебры с одной стороны и CDG-коалгебры с другой.
Update: понятие, похожее на наши "квазикогерентные пучки модулей над квазикогерентным стэком OX-алгебр" появлялось в литературе под именем "скрученных пучков", twisted sheaves. См. диссертацию Андрея Сальдарару "Derived categories of twisted sheaves on Calabi-Yau manifolds" http://www.math.wisc.edu/~andreic/publications/ThesisSingleSpaced.pdf и препринт Макса Либлиха http://arxiv.org/abs/math/0411337 .
Источником этих ссылок является изложение де Йонга ("A result of Gabber", http://www.math.columbia.edu/~dejong/papers/2-gabber.pdf ) важного результата Габбера о группах Брауэра схем (группа классов эквивалентности алгебр Адзумаи над квазипроективной схемой изоморфна подгруппе кручения во вторых этальных когомологиях с коэффициентами в Gm; для схем более общего вида было известно раньше, что первая является подгруппой второй). См. также неоконченное изложение Гунеласа (Frank Gounelas, Gabber’s theorem on Brauer groups of schemes, http://www.mathi.uni-heidelberg.de/~gounelas/projects/gabber-brauer.pdf ).
По поводу скрученных пучков, см. также
- Lieblich "On the ubiquity of twisted sheaves", http://www.cims.nyu.edu/~tschinke/books/simons12/lieblich.pdf
- его же "Moduli of twisted sheaves and generalized Azumaya algebras" (диссертация), http://dspace.mit.edu/handle/1721.1/30145
- J. Heinloth and S. Schroer, The bigger Brauer group and twisted sheaves, http://staff.science.uva.nl/~heinloth/brauer.pdf
- (последняя) глава 19 "Stacks and Twisted Sheaves" в книге Кашивара-Шапира "Categories and Sheaves"
и т.д.
Кроме того, для того, чтобы такой теорией можно было пользоваться, она должна была бы, видимо, включать какой-то treatment квазиизоморфизмов между DG-(квази)алгебрами A~ и, может быть, слабых эквивалентностей между CDG-коалгебрами B. Дело это непростое даже в ситуации над полем, а в относительной ситуации я, кажется, вообще еще об этом не думал.
Переход к ковариантной двойственности на уровне алгебр предполагал бы необходимость иметь дело с квазидифференциальными кокольцами вместо CDG-колец. Штуки это сильно контринтуитивные и работать с ними поэтому нелегко (в частности, хотя на первый взгляд может показаться, что они упрощали бы формулировку ко-контра соответствия в начальном постинге, но реализовать эти упрощения оказалось для меня в свое время непосильной задачей).
Совсем другой вопрос -- что будет, если заменить кольцо на коалгебру над полем в роли базы наших относительных двойственностей. Тогда ситуация становится автоматически локальной (и даже в каком-то смысле инд-нульмерной), никаких пучков и стеков не возникает. В общем, это совсем другая теория; если писать статью по этим наброскам, случай базового кольца можно было бы рассмотреть в основном массиве текста, а про базовую коалгебру сделать приложение.
Теория с базовой коалгеброй естественным образом целиком ковариантна, так что трудность, описанная в первом абзаце этого постинга, в ней не возникает. Может быть, там можно было бы иметь достаточного общего вида DG-полуалгебры с одной стороны и CDG-коалгебры с другой.
Update: понятие, похожее на наши "квазикогерентные пучки модулей над квазикогерентным стэком OX-алгебр" появлялось в литературе под именем "скрученных пучков", twisted sheaves. См. диссертацию Андрея Сальдарару "Derived categories of twisted sheaves on Calabi-Yau manifolds" http://www.math.wisc.edu/~andreic/publications/ThesisSingleSpaced.pdf и препринт Макса Либлиха http://arxiv.org/abs/math/0411337 .
Источником этих ссылок является изложение де Йонга ("A result of Gabber", http://www.math.columbia.edu/~dejong/papers/2-gabber.pdf ) важного результата Габбера о группах Брауэра схем (группа классов эквивалентности алгебр Адзумаи над квазипроективной схемой изоморфна подгруппе кручения во вторых этальных когомологиях с коэффициентами в Gm; для схем более общего вида было известно раньше, что первая является подгруппой второй). См. также неоконченное изложение Гунеласа (Frank Gounelas, Gabber’s theorem on Brauer groups of schemes, http://www.mathi.uni-heidelberg.de/~gounelas/projects/gabber-brauer.pdf ).
По поводу скрученных пучков, см. также
- Lieblich "On the ubiquity of twisted sheaves", http://www.cims.nyu.edu/~tschinke/books/simons12/lieblich.pdf
- его же "Moduli of twisted sheaves and generalized Azumaya algebras" (диссертация), http://dspace.mit.edu/handle/1721.1/30145
- J. Heinloth and S. Schroer, The bigger Brauer group and twisted sheaves, http://staff.science.uva.nl/~heinloth/brauer.pdf
- (последняя) глава 19 "Stacks and Twisted Sheaves" в книге Кашивара-Шапира "Categories and Sheaves"
и т.д.
