![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Конечно-проективной справа кошулевой CDG-алгеброй над коммутативным кольцом R называется CDG-кольцо (B,d,h), когомологически градуированное неотрицательными целыми числами, снабженное гомоморфизмом колец R → B0, образ которого лежит в центре B (но не обязательно аннулируется дифференциалом d), такое что компоненты Bi градуированного кольца B являются конечно-порожденными проективными правыми B0-модулями и градуированное кольцо B кошулево.
Неоднородной конечно-проективной слева кошулевой квазиалгеброй над коммутативным кольцом R называется кольцо A~, снабженное исчерпывающей возрастающей мультипликативной фильтрацией F0A~ ⊂ F1A~ ⊂ F2A~ ⊂ ... и гомоморфизмом колец R → F0A~, такими что присоединенное градуированное кольцо A = grFA~ кошулево с компонентами, являющимися конечно-порожденными проективными левыми модулями над A0 = F0A~, причем образ отображения R → A0 лежит в центре градуированного кольца A (но не обязательно в центре фильтрованного кольца A~).
Теорема 1 (Пуанкаре-Биркгофа-Витта для неоднородных кошулевых алгебр над базовым кольцом): зафиксируем кольцо A0 = B0 вместе с гомоморфизмом в его центр из коммутативного кольца R. Тогда категории конечно-проективных справа кошулевых CDG-алгебр B над R (с таким кольцом B0 и гомоморфизмом R → B0) и неоднородных конечно-проективных слева кошулевых квазиалгебр A~ над R (с таким кольцом A0 = F0A~ и гомоморфизмом R → A0) естественным образом антиэквивалентны.
Следующий чуть более тонкий вариант теоремы 1 позволяет учесть 2-категорную структуру. Правда, надо еще объяснять, что понимается под эквивалентностью 2-категорий (в данном случае это будет "эквивалентность подлежащих 1-категорий, сохраняющая 2-структуру", т.е., эквивалентность 1-остовов + изоморфизмы категорий 1-морфизмов).
Теорема 1': 2-категория конечно-проективных справа кошулевых CDG-алгебр над R, с морфизмами CDG-алгебр над R, индуцирующими изоморфизмы нулевых компонент градуировки в качестве 1-морфизмов и произвольными 2-морфизмами CDG-колец в качестве 2-морфизмов, эквивалентна 2-категории неоднородных конечно-проективных слева кошулевых квазиалгебр над R, c морфизмами фильтрованных квазиалгебр над R, индуцирующими изоморфизмы нулевых компонент фильтрации в качестве 1-морфизмов и сопряжениями на обратимые элементы из нулевых компонент фильтрации в качестве 2-морфизмов.
Теорема 2 (производной неоднородной кошулевой двойственности над базовым кольцом): пусть конечно-проективная справа кошулева CDG-алгебра (B,d,h) соответствует неоднородной конечно-проективной слева кошулевой квазиалгебре A~ над кольцом R при антиэквивалентности категорий из теоремы 1. Тогда полукопроизводная категория комплексов правых модулей над A~ (относительно F0A~) эквивалентна копроизводной категории правых CDG-комодулей над (B,d,h), а полуконтрапроизводная категория комплексов левых модулей над A~ (относительно F0A~) эквивалентна контрапроизводной категории левых CDG-контрамодулей над (B,d,h).
Определение: пусть S и T -- ассоциативные кольца. S-T-бимодуль K, являющийся конечно-порожденным проективным левым S-модулем, называется T-бидуализуемым справа, если левый T-модуль HomS(K,S) конечно-порожден и проективен. Аналогично, S-T-бимодуль L, являющийся конечно-порожденным проективным правым T-модулем, называется S-бидуализуемым слева, если правый S-модуль HomTop(K,T) конечно-порожден и проективен. Функтор K → HomT(HomS(K,S),T) и обратный к нему HomSop(HomTop(L,T),S) устанавливают эквивалентность между тензорными точными категориями S-T-бимодулей, конечно-порожденных и проективных над S слева и Т-бидуализуемых справа, и S-T-бимодулей, конечно-порожденных и проективных над T справа и S-бидуализуемых слева.
Лемма? 1: Эквивалентность B → HomS(HomS(B,S),S) между категориями неотрицательно градуированных колец B с нулевой компонентой B0 = S, компоненты которых конечно-порождены и проективны над S слева и S-бидуализуемы справа, и компоненты которых конечно-порождены и проективны над S справа и S-бидуализуемы слева, переводит CDG-кольца в CDG-кольца.
Теорема? 3 (комодульно-контрамодульное соответствие для CDG-колец над гомологически конечномерным базовым кольцом): допустим, что ассоциативное кольцо S имеет конечную левую гомологическую размерность, и пусть неотрицательно градуированные CDG-кольца B' и B'' переводятся друг в друга соответствием из леммы 1 (причем компоненты B' конечно-порождены и проективны над S слева и S-бидуализуемы справа, а компоненты B'' конечно-порождены и проективны над S справа и S-бидуализуемы слева). Тогда имеется естественная эквивалентность между копроизводной категорией левых CDG-комодулей над B' и контрапроизводной категорией левых CDG-контрамодулей над B''.
Лемма? 2: Пусть (A~,F) -- фильтрованное кольцо, присоединенное градуированное кольцо которого A = grFA~ имеет компоненты, конечно-порожденные и проективные над A0 как слева, так и справа, и является при этом кошулевым. Тогда конечно проективное справа кошулево CDG-кольцо B'', сопоставляемое неоднородному конечно проективному слева кошулеву кольцу A~ конструкцией из теоремы 1, и конечно проективное слева кошулево кольцо B', сопоставляемое неоднородному конечно проективному справа кошулеву кольцу A~ конструкцией, противоположной (т.е., отличающейся перестановкой всех множителей в обратном порядке в) конструкции из теоремы 1, переводятся одно в другое соответствием из леммы 1.
Теорема? 4 (неоднородная кошулева тройственность над гомологически конечномерным базовым кольцом): пусть (A~,F) -- фильтрованное кольцо, присоединенное градуированное кольцо которого A = grFA~ имеет компоненты, конечно-порожденные и проективные над A0 как слева, так и справа, и является при этом кошулевым. Рассмотрим соответствующие CDG-кольца B' и B'' из леммы 2. Предположим, что кольцо A0 имеет конечную левую гомологическую размерность. Тогда эквивалентности между производной категорией левых A~-модулей, копроизводной категорией левых CDG-комодулей над B', и контрапроизводной категорией левых CDG-контрамодулей над B'' из теоремы 2, ее двойственной версии, и теоремы 3 образуют коммутативную треугольную диаграмму.
Замечание: хотелось бы избавиться от условия конечности гомологической размерности в теоремах 3-4, заменив копроизводную и контрапроизводную категорию CDG-ко/контрамодулей на их соответствующие факторкатегории (те, которые эквивалентности категорий из теоремы 3 отождествляют с обычными производными, а не полупроизводными категориями комплексов A~-модулей).
Неоднородной конечно-проективной слева кошулевой квазиалгеброй над коммутативным кольцом R называется кольцо A~, снабженное исчерпывающей возрастающей мультипликативной фильтрацией F0A~ ⊂ F1A~ ⊂ F2A~ ⊂ ... и гомоморфизмом колец R → F0A~, такими что присоединенное градуированное кольцо A = grFA~ кошулево с компонентами, являющимися конечно-порожденными проективными левыми модулями над A0 = F0A~, причем образ отображения R → A0 лежит в центре градуированного кольца A (но не обязательно в центре фильтрованного кольца A~).
Теорема 1 (Пуанкаре-Биркгофа-Витта для неоднородных кошулевых алгебр над базовым кольцом): зафиксируем кольцо A0 = B0 вместе с гомоморфизмом в его центр из коммутативного кольца R. Тогда категории конечно-проективных справа кошулевых CDG-алгебр B над R (с таким кольцом B0 и гомоморфизмом R → B0) и неоднородных конечно-проективных слева кошулевых квазиалгебр A~ над R (с таким кольцом A0 = F0A~ и гомоморфизмом R → A0) естественным образом антиэквивалентны.
Следующий чуть более тонкий вариант теоремы 1 позволяет учесть 2-категорную структуру. Правда, надо еще объяснять, что понимается под эквивалентностью 2-категорий (в данном случае это будет "эквивалентность подлежащих 1-категорий, сохраняющая 2-структуру", т.е., эквивалентность 1-остовов + изоморфизмы категорий 1-морфизмов).
Теорема 1': 2-категория конечно-проективных справа кошулевых CDG-алгебр над R, с морфизмами CDG-алгебр над R, индуцирующими изоморфизмы нулевых компонент градуировки в качестве 1-морфизмов и произвольными 2-морфизмами CDG-колец в качестве 2-морфизмов, эквивалентна 2-категории неоднородных конечно-проективных слева кошулевых квазиалгебр над R, c морфизмами фильтрованных квазиалгебр над R, индуцирующими изоморфизмы нулевых компонент фильтрации в качестве 1-морфизмов и сопряжениями на обратимые элементы из нулевых компонент фильтрации в качестве 2-морфизмов.
Теорема 2 (производной неоднородной кошулевой двойственности над базовым кольцом): пусть конечно-проективная справа кошулева CDG-алгебра (B,d,h) соответствует неоднородной конечно-проективной слева кошулевой квазиалгебре A~ над кольцом R при антиэквивалентности категорий из теоремы 1. Тогда полукопроизводная категория комплексов правых модулей над A~ (относительно F0A~) эквивалентна копроизводной категории правых CDG-комодулей над (B,d,h), а полуконтрапроизводная категория комплексов левых модулей над A~ (относительно F0A~) эквивалентна контрапроизводной категории левых CDG-контрамодулей над (B,d,h).
Определение: пусть S и T -- ассоциативные кольца. S-T-бимодуль K, являющийся конечно-порожденным проективным левым S-модулем, называется T-бидуализуемым справа, если левый T-модуль HomS(K,S) конечно-порожден и проективен. Аналогично, S-T-бимодуль L, являющийся конечно-порожденным проективным правым T-модулем, называется S-бидуализуемым слева, если правый S-модуль HomTop(K,T) конечно-порожден и проективен. Функтор K → HomT(HomS(K,S),T) и обратный к нему HomSop(HomTop(L,T),S) устанавливают эквивалентность между тензорными точными категориями S-T-бимодулей, конечно-порожденных и проективных над S слева и Т-бидуализуемых справа, и S-T-бимодулей, конечно-порожденных и проективных над T справа и S-бидуализуемых слева.
Лемма? 1: Эквивалентность B → HomS(HomS(B,S),S) между категориями неотрицательно градуированных колец B с нулевой компонентой B0 = S, компоненты которых конечно-порождены и проективны над S слева и S-бидуализуемы справа, и компоненты которых конечно-порождены и проективны над S справа и S-бидуализуемы слева, переводит CDG-кольца в CDG-кольца.
Теорема? 3 (комодульно-контрамодульное соответствие для CDG-колец над гомологически конечномерным базовым кольцом): допустим, что ассоциативное кольцо S имеет конечную левую гомологическую размерность, и пусть неотрицательно градуированные CDG-кольца B' и B'' переводятся друг в друга соответствием из леммы 1 (причем компоненты B' конечно-порождены и проективны над S слева и S-бидуализуемы справа, а компоненты B'' конечно-порождены и проективны над S справа и S-бидуализуемы слева). Тогда имеется естественная эквивалентность между копроизводной категорией левых CDG-комодулей над B' и контрапроизводной категорией левых CDG-контрамодулей над B''.
Лемма? 2: Пусть (A~,F) -- фильтрованное кольцо, присоединенное градуированное кольцо которого A = grFA~ имеет компоненты, конечно-порожденные и проективные над A0 как слева, так и справа, и является при этом кошулевым. Тогда конечно проективное справа кошулево CDG-кольцо B'', сопоставляемое неоднородному конечно проективному слева кошулеву кольцу A~ конструкцией из теоремы 1, и конечно проективное слева кошулево кольцо B', сопоставляемое неоднородному конечно проективному справа кошулеву кольцу A~ конструкцией, противоположной (т.е., отличающейся перестановкой всех множителей в обратном порядке в) конструкции из теоремы 1, переводятся одно в другое соответствием из леммы 1.
Теорема? 4 (неоднородная кошулева тройственность над гомологически конечномерным базовым кольцом): пусть (A~,F) -- фильтрованное кольцо, присоединенное градуированное кольцо которого A = grFA~ имеет компоненты, конечно-порожденные и проективные над A0 как слева, так и справа, и является при этом кошулевым. Рассмотрим соответствующие CDG-кольца B' и B'' из леммы 2. Предположим, что кольцо A0 имеет конечную левую гомологическую размерность. Тогда эквивалентности между производной категорией левых A~-модулей, копроизводной категорией левых CDG-комодулей над B', и контрапроизводной категорией левых CDG-контрамодулей над B'' из теоремы 2, ее двойственной версии, и теоремы 3 образуют коммутативную треугольную диаграмму.
Замечание: хотелось бы избавиться от условия конечности гомологической размерности в теоремах 3-4, заменив копроизводную и контрапроизводную категорию CDG-ко/контрамодулей на их соответствующие факторкатегории (те, которые эквивалентности категорий из теоремы 3 отождествляют с обычными производными, а не полупроизводными категориями комплексов A~-модулей).
