Обратные образы контрагерентных копучков

Как известно, в основе теории пучков лежит конструкция пучковизации предпучка. Добрая половина, если не большинство, важнейших конструкций пучков предполагают, что сначала нужно построить некий предпучок, а потом перейти к его пучковизации. Пучковизация предпучка, в свою очередь, традиционно строится в соответствующих учебниках с помощью понятия слоя предпучка в точке, определяемого как подходящий направленный прямой предел.

Граждане, получившие углубленное образование в этой области, знают, что пучковизацию можно строить и по-другому. Видимо, эта альтернативная конструкция должна играть важную роль в общей теории топологий Гротендика и т.д., поскольку существование достаточного числа точек там (насколько я понимаю) не предполагается. К этой более изощренной конструкции относится известная мантра, что "пучковизировать надо дважды". В самом деле, функтор пучковизации строится как квадрат некоторого функтора; сам этот функтор преобразует произвольные предпучки в отделимые, а отделимые предпучки -- в пучки.

Многие изучавшие теорию пучков слыхали, что "функтор пучковизации точен". На самом деле, функтор пучковизации точен, если рассматривать его как функтор из предпучков в пучки. Как функтор из предпучков в предпучки, он точен слева. Более изощренная конструкция пучковизации, использующая двойную итерацию, демонстрирует это свойство точности в явном виде: группа сечений предпучка, полученного в результате применения "квадратного корня из пучковизации", строится как направленный прямой предел по измельчающимся покрытиям ненаправленных обратных пределов, связанных с каждым фиксированным покрытием открытого множества.

В ситуации с копучками, функтор кослоя будет неким направленным обратным пределом, т.е., функтором, точным только слева. Функтор "квадратного корня из копучковизации" будет некой композицией направленных обратных и ненаправленных прямых пределов, т.е., функторов, точных с разных сторон. Проблематичность подобных конструкций с точки зрения гомологического алгебраиста очевидна.

В частности, традиционная конструкция обратного образа пучков использует как направленный прямой предел по уменьшающимся открытым множествам (аналогичный конструкции слоя), так и пучковизацию получившегося предпучка. Ввиду неточности направленных обратных пределов, пользоваться двойственным вариантом такой конструкции в общем случае не представляется возможным.

Обратные образы контрагерентных копучков - 2

Одна из более мелких проблем с копучками состоит в том, что это понятие не согласовано с забывающими функторами между алгебраическими стуктурами: подлежащий копредпучок множеств к копучку абелевых групп копучком множеств не является. Причина состоит в том, что с забывающими функторами не согласованы функторы копроизведений в соответствующих категориях (в отличие от функторов произведений). Поэтому теории копучков множеств и копучков абелевых групп приходится строить раздельно.

Литература по копучкам очень фрагментарна (можно составить себе представление по обсуждениям на MathOverflow -- http://mathoverflow.net/questions/43311/sheaves-and-cosheaves , http://mathoverflow.net/questions/99969/cosheaf-homology-and-a-theorem-of-beilinson-in-a-paper-on-mixed-tate-motives и статье на ncatlab -- http://ncatlab.org/nlab/show/cosheaf ), но кое-что можно найти. В книжке Бредона "Теория пучков" обсуждаются копучки модулей над кольцом главных идеалов, но копучковизация не строится.

В приложении B к этой статье -- http://arxiv.org/abs/0811.2580 -- развивается теория, аналогичная теории "этальных пространств предпучков" для копучков множеств, и с помощью этого, как утверждается, строится функтор копучковизации, сопряженный справа к вложению копредпучков множеств в копучки (примерно на ту же тему есть длинная, сложная книга авторства M.Bunge and J.Funk, Lecture Notes in Math. 1890). Копучки и копучковизация в контексте какого-то функционального анализа обсуждаются здесь -- http://arxiv.org/abs/0912.4914

С упоминаниями конструктивных копучков абелевых групп приходится время от времени встречаться (см. напр. доказательство леммы 4.2 в статье http://arxiv.org/abs/math/0103059 ). Возможно, в некоторых контекстах возникающие направленные обратные пределы, например, стабилизируются, и жизнь упрощается.