Обратные образы контрагерентных копучков - 3

Теория контрагерентных копучков, в том виде, как она строится в моем последнем препринте, основана на наличии у любой схемы замечательной базы открытых подмножеств, состоящей из аффинных открытых подсхем. По неким причинам (см. ниже), важна также возможность ограничиться достаточно малыми аффинными открытыми подсхемами (подчиненными какому-нибудь фиксированному открытому покрытию).

Функторы косечений копучков над такими открытыми подсхемами играют одновременно роль, которую в обычной теории пучков играют функторы слоев в точках (будучи точными, в значительной степени по определению, в моей теории) и роль, которую в ней играют функторы сечений над открытыми подмножествами (поскольку (ко)пучки достаточно задавать на базе топологии, и проверять соответствующие аксиомы только для покрытий открытых множеств из базы открытыми множествами из базы).

В ситуации, когда квазикогерентный пучок обычно строился бы как пучковизация какого-то предпучка, контрагерентный копучок в явном виде определяется на базе аффинных открытых подсхем. Если приходится ограничиваться аффинными открытыми подсхемами, подчиненными какому-то покрытию, получается локально контрагерентный копучок. В обоих случаях, модуль косечений над аффинной открытой подсхемой должен удовлетворять "условию контраприспособленности", и нужно проверять "условие контрагерентности" для пары вложенных аффинных открытых подсхем. Аксиомы копучка для покрытия аффинной открытой схемы меньшими аффинными открытыми подсхемами из этих условий следуют, а дальше копучок продолжается на произвольные открытые подмножества.

Таким образом, однозначное продолжение копучков с базы (возможно, малых) аффинных открытых подсхем на все открытые подмножества схемы выступает в роли, в которой в теории пучков обычно используется функтор пучковизации.

Характерным примером является конструкция обратного образа контрагерентного копучка P при морфизме схем f: Y → X. Чтобы определить модуль косечений (f^!P)[V] над открытой аффинной подсхемой V ⊂ Y, надо выбрать открытую аффинную подсхему U ⊂ X, такую что f(V) ⊂ U. Если таковой не существует, нужно пользоваться более мелкими, чем эта V, открытыми аффинными подсхемами в Y, и обратный образ будет лишь локально, а не глобально контрагерентным копучком.

Возникает также проблема однозначности такой конструкции. Пусть есть две разных открытых аффинных подсхемы U', U'' ⊂ X, таких что f(V) ⊂ U' и f(V) ⊂ U''; что с этим делать? Если пересечение U' и U'' в X аффинно -- или хотя бы существует аффинная открытая подсхема U ⊂ U'∩U'', содержащая f(V) -- проблема легко решается (так что в случае полуотделимой схемы X все просто).

В неотделимой ситуации, я все последние месяцы спотыкался об это место, пока сегодня, наконец, не сообразил, что корректность конструкции можно прямо проверить в общем случае. Покроем пересечение U'∩U'' открытыми аффинными подсхемами U_α; поскольку V квазикомпактна, f(V) содержится в объединении конечного числа таких U_α. Рассматривая полные прообразы, получаем конечное аффинное покрытие аффинной схемы V, которое мы обозначим через V_α.

Модули (f^!P)[V_α], построенные с помощью вложения f(V_α) в U' и U'', естественно изоморфны, так как их можно сравнить через U_α (содержащуюся в U' и U'' и содержащую f(V_α)). То же относится к модулям (f^!P)[V_α∩V_β] (которые можно сравнить через аффинные открытые подсхемы U_α∩U_β). Аксиома копучка однозначно восстанавливает (f^!P)[V].