Как пользоваться модулями кокручения

1. В точной категории модулей кокручения всякий плоский модуль (кокручения) -- проективный объект. Если вспомнить, что контрагерентные копучки суть контрамодули над кокольцом, связанным с аффинным покрытием нашей схемы, и кокольцо это над своим базовым кольцом плоское -- отсюда следует, мне кажется, что в точной категории контрагерентных копучков кокручения (по крайней мере, над квазикомпактной полуотделимой схемой) достаточно много проективных объектов.

Аналогичное рассуждение с заменой модулей/копучков кокручения на более широкий класс "контраприспособленных" требует построения аналога теории плоских покрытий и оболочек кокручения в этой ситуации.

Кроме того, класс модулей кокручения замкнут относительно бесконечных произведений, и тем же свойством обладает класс плоских модулей над когерентным кольцом. Поэтому в точной категории модулей кокручения над когерентным кольцом бесконечные произведения сохраняют проективность объектов.

2. Модуль гомоморфизмов из любого модуля в инъективный является модулем кокручения; в частности, Hom из инъективного модуля в инъективный (над когерентным кольцом) есть плоский модуль кокручения.

Соответственно, тензорное умножение на и Hom из дуализирующего комплекса сразу дает эквивалентность гомотопических категорий инъективных модулей и плоских модулей кокручения. Это упрощает доказательство эквивалентности копроизводной и контрапроизводной категорий модулей. (Отметим, что всякий R-модуль имеет конечную правую резольвенту из модулей кокручения тогда и только тогда, когда всякий плоский R-модуль имеет конечную левую проективную резольвенту.)

Ко-контра соответствие над непроективным кокольцом

Пусть A -- некоммутативное кольцо конечной гомологической размерности, C -- кокольцо над A, являющееся плоским левым и правым A-модулем. Тогда имеются абелева категория левых C-комодулей и точная категория левых C-контрамодулей, у которых подлежащие A-модули являются A-модулями кокручения.

Можно говорить о понятии "гомологически дополнительных" классов объектов точной категории. Ну, это которые соотносятся как плоские модули и модули кокручения (согласно приводившемуся здесь обзору), или как A-проективные и C/A-инъективные C-комодули, а равно A-инъективные и C/A-проективные C-контрамодули (в ситуации, как описано выше, только с более сильным условием, что C проективный левый A-модуль -- как изложено в разделе 5.3 книжки Homological algebra of semimodules...)

Ну так вот, хотелось бы иметь гомологически дополнительные классы:
- A-плоских C-комодулей и дополнительный к нему справа (назовем его классом С-комодулей кокручения -- например, C-комодули, коиндуцированные с A-модулей кокручения являются типичными представителями этого класса);
- A-инъективных C-контрамодулей и дополнительный к нему слева (среди C-контрамодулей A-кокручения -- назовем его классом C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения).

И далее, хотелось бы, чтобы функторы ко-контра соответствия Φ_C и Ψ_C ограничивались до эквивалентности между точными категориями C-комодулей кокручения и C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения. И отсюда бы тогда хотелось получить эквивалентность между копроизводной категорией левых С-комодулей и контрапроизводной категорией левых C-контрамодулей A-кокручения.

... Это, по существу, речь идет о том, чтобы переписать параграфы 5.2-5.3 полубесконечной книжки с повсеместной заменой слова "проективный" на "плоский" с компенсирующим вставлением слова "модуль кокручения" в нужных местах.

Среди прочего, здесь может возникать как надежда, так и необходимость получить ответы на открытые вопросы в тексте книжки, связанные с понятиями коплоских и т.д. комодулей, пользуясь теорией модулей кокручения. Эквивалентны ли свойства превращать функтор котензорного произведения на любой комодуль в точный и превращать функтор когомоморфизмов в С-контрамодуль A-кокручения в точный (как бы два естественных определения коплоского комодуля)? И т.д.

См. также http://posic.livejournal.com/591695.html

Податься к математикам или к физикам

http://mathoverflow.net/questions/93944/advice-on-doing-physics-under-the-umbrella-of-mathematics-and-the-converse