Как пользоваться модулями кокручения
Apr. 13th, 2012 04:34 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posic1. В точной категории модулей кокручения всякий плоский модуль (кокручения) -- проективный объект. Если вспомнить, что контрагерентные копучки суть контрамодули над кокольцом, связанным с аффинным покрытием нашей схемы, и кокольцо это над своим базовым кольцом плоское -- отсюда следует, мне кажется, что в точной категории контрагерентных копучков кокручения (по крайней мере, над квазикомпактной полуотделимой схемой) достаточно много проективных объектов.
Аналогичное рассуждение с заменой модулей/копучков кокручения на более широкий класс "контраприспособленных" требует построения аналога теории плоских покрытий и оболочек кокручения в этой ситуации.
Кроме того, класс модулей кокручения замкнут относительно бесконечных произведений, и тем же свойством обладает класс плоских модулей над когерентным кольцом. Поэтому в точной категории модулей кокручения над когерентным кольцом бесконечные произведения сохраняют проективность объектов.
2. Модуль гомоморфизмов из любого модуля в инъективный является модулем кокручения; в частности, Hom из инъективного модуля в инъективный (над когерентным кольцом) есть плоский модуль кокручения.
Соответственно, тензорное умножение на и Hom из дуализирующего комплекса сразу дает эквивалентность гомотопических категорий инъективных модулей и плоских модулей кокручения. Это упрощает доказательство эквивалентности копроизводной и контрапроизводной категорий модулей. (Отметим, что всякий R-модуль имеет конечную правую резольвенту из модулей кокручения тогда и только тогда, когда всякий плоский R-модуль имеет конечную левую проективную резольвенту.)
Аналогичное рассуждение с заменой модулей/копучков кокручения на более широкий класс "контраприспособленных" требует построения аналога теории плоских покрытий и оболочек кокручения в этой ситуации.
Кроме того, класс модулей кокручения замкнут относительно бесконечных произведений, и тем же свойством обладает класс плоских модулей над когерентным кольцом. Поэтому в точной категории модулей кокручения над когерентным кольцом бесконечные произведения сохраняют проективность объектов.
2. Модуль гомоморфизмов из любого модуля в инъективный является модулем кокручения; в частности, Hom из инъективного модуля в инъективный (над когерентным кольцом) есть плоский модуль кокручения.
Соответственно, тензорное умножение на и Hom из дуализирующего комплекса сразу дает эквивалентность гомотопических категорий инъективных модулей и плоских модулей кокручения. Это упрощает доказательство эквивалентности копроизводной и контрапроизводной категорий модулей. (Отметим, что всякий R-модуль имеет конечную правую резольвенту из модулей кокручения тогда и только тогда, когда всякий плоский R-модуль имеет конечную левую проективную резольвенту.)
