Пример не точной категории

Много примеров точных категорий, в том числе весьма изощренных примеров, можно найти в разных текстах, в том числе, и в моих. А вот простой, естественный пример аддитивной категории с классом точных троек, не являющейся точной категорией.

Пусть G -- (скажем, конечная) группа, R -- (коммутативное) кольцо; нашей аддитивной категорией будет полная подкатегория в категории R[G]-модулей, состоящая из всех R[G]-модулей, индуцированных с R-модулей. Рассмотрим класс всех троек в этой категории, индуцированных с точных троек R-модулей.

Это не точная категория, потому что не выполнены аксиомы замены базы и кобазы. Если взять точную тройку R[G]-модулей A[G] → B[G] → C[G], индуцированную с точной тройки R-модулей A → B → C, и морфизм D[G] → C[G] в нашей аддитивной категории, то построить по этим данным точную тройку A[G] → X[G] → D[G] в нашей категории не получится, да и само расслоенное произведение X[G] объектов B[G] и D[G] над C[G] может не существовать в нашей аддитивной категории.

Потому что морфизм-то R[G]-модулей D[G] → C[G] может не быть индуцированным с морфизма R-модулей! В аксиоме замены базы, входящей в определение точной категории, это может быть любой морфизм в аддитивной категории, точная структура на которой рассматривается. А морфизмы между индуцированными G-модулями бывают всякие-разные.

Отметим, что для этого контрпримера нужно именно кольцо R, поля недостаточно. Потому что если в категории R-модулей все точные тройки расщепимы, то и наш класс точных троек индуцированных R[G]-модулей будет состоять ровно из всех расщепимых троек. И будет просто X[G] = A[G] ⊕ D[G].

To: aim@elsevier.com, Re: Request to referee

Dear Professor Pantev,

Unfortunately, I cannot review this paper for Advances in Mathematics. One reason is that
I have enough reviewing job taken upon myself already and do not have enough time in
these later days.

Another reason is that, contrary to what you are saying, I cannot be of any assistance in
determining whether a particular submission is appropriate for publication in Advances.

Whatever my mathematical expertise may or may not be, such a phenomenon as
the high standards of Advances in Mathematics is certainly above my limited capacity of
understanding matters. I've already had one paper rejected by Advances after my
positive review several years ago, and more recently, had my own paper rejected by
Advances with the referee's remarks that my work is "clear and original" but "not yet
ready for publication in Advances in Mathematics".

I have no idea what being a paper "appropriate for publication in Advances in Mathematics"
might consist in.

Sorry for being unable to help,

Best regards,

Leonid Positselski

Юзер bars_of_cage

в нейрохирургической реанимации после нападения во дворе дома -- http://users.livejournal.com/_niece/170782.html

Политика

Конечно, я прежде всего теоретик, абстрактный мыслитель; мой интерес к политике, как и ко всему на свете, носит теоретический характер. И конечно, в этом смысле большой масштаб мне интереснее, чем малый -- дела российские, американские, международные представляют более увлекательные предметы для осмысления, чем ближайшая песочница вроде своего факультета или даже мировой математики.

Тем не менее, я очень удивлялся, когда мне говорили (а мне говорили), что я "не интересуюсь политическими вопросами" (в смысле локальной научной политики) -- пока не сообразил, что говорящие понимают под политикой нечто довольно противоположное тому, что понимаю под таковой я. К сожалению, в песочнице, в еще большей степени, чем на международной арене, под интересом к политике понимается стремление к извлечению личной выгоды из политических аспектов общественных отношений. До этого мне, действительно, дела нет.

Для меня политика -- это сфера принесения себя в жертву своим ценностям и убеждениям, их воплощению в реальном мире. Формулировка эта не подразумевает заведомого одобрения или осуждения -- тут уж смотря у кого какие ценности, и какие средства к их воплощению выбираются. Дело это опасное и чаще вредное, чем полезное. Но все остальное, по мне -- это вообще не политика, а просто паразитизм и мелкое шкурничество.

Так вот, хотя я прежде всего теоретик и предпочитаю размышлять, нежели действовать, но я считаю себя в принципе вполне способным к политическому действию на практике. Я могу иногда, если очень нужно, сделать внятный, нетривиальный политический ход, рассчитанный и опасный; провести продуманную, последовательную линию, и так далее.

Дело это болезненное, требующее самоотдачи и приносящее большие отрицательные материальные дивиденды, но в конечном итоге это одна из форм творческой самореализации человека с врожденным интересом к сфере политического. Делаются такие вещи в надежде, что от них будет польза будущему человечества, или мирозданию, или что-то в этом роде. Где там на самом деле польза и где вред -- это уже нужно обсуждать абстрактные принципы или конкретные ситуации, но в любом случае что-то более предметное.

Впрочем, есть и более приземленное объяснение. Году в 2003 мой приятель Денис Г. спрашивал меня, что он не понимает, зачем я занимаюсь политикой, на что я ответил -- иногда не хочется жить, а хочется умереть, вот, поэтому.

Учеба + интим

http://avva.livejournal.com/2413140.html

Тонкое различие между нравственным законом внутри нас и последней инструкцией ВЦСПС -- доступно ли оно сознанию современного человека вообще?