![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Feb. 16th, 2012
20 февраля заканчивается регистрация на студенческую олимпиаду НИУ ВШЭ
для поступающих в магистратуру
http://olymp.hse.ru/ma
(мы проводим олимпиаду "Математика", которая будет включать варианты
по математике и математической физике, впрочем, совпадающие почти полностью).
Пожалуйста, еще раз напомните заинтересованным студентам зарегистрироваться!
для поступающих в магистратуру
http://olymp.hse.ru/ma
(мы проводим олимпиаду "Математика", которая будет включать варианты
по математике и математической физике, впрочем, совпадающие почти полностью).
Пожалуйста, еще раз напомните заинтересованным студентам зарегистрироваться!
Мотивный спуск
Feb. 16th, 2012 01:46 pmРазвитие этого -- http://posic.livejournal.com/679739.html
Пусть Ch (от слова Чжоу) -- DG-категория, в которой все комплексы морфизмов сосредоточены в неположительных когомологических степенях. Предположим, что на Ch (дискретно) действует (проконечная) группа G (что это значит, еще надо разбираться отдельно, но будем надеяться, что разумный смысл этому можно придать).
Будем рассматривать то, что Б. и К. когда-то прозвали "скрученными комплексами" над Ch -- конечные формальные прямые суммы формальных когомологических сдвигов объектов из Ch, снабженные коцепями Маурера-Картана, скручивающими дифференциал на прямой сумме. В силу условия на Ch, все такие скрученные комплексы должны быть "односторонними" и, более того, на них есть естественные "глупые фильтрации" (насколько я понимаю).
Будем рассматривать такие скрученные комплексы, снабженные действием G. Хотелось бы организовать из таких скрученных комплексов точную DG-категорию, в которой морфизмы -- комплексы морфизмов скрученных комплексов, коммутирующих с действием G. А точная структура такая: точная тройка G-эквивариантных скрученных комплексов -- это, во-первых, расщепимая точная тройка в аддитивно-сдвиговой оболочке Ch. При этом G-эквивариантного расщепления быть вовсе не должно (иначе неинтересно), но требуется существование G-эквивариантных расщеплений на присоединенных факторах нашей тройки по глупой фильтрации.
У полученной точной DG-категории строится абсолютная производная категория, у которой есть также DG-модель (по Др.). В этой DG-модели сидит полная DG-подкатегория, состоящая из G-эквивариантных скрученных комплексов, подлежащие скрученные комплексы которых суть просто прямые суммы объектов из Ch (без сдвигов). Эта DG-подкатегория называется (в надежде, что конструкция правильная) результатом "мотивного" или "весового" спуска исходной DG-категории Ch с действием групы G и обозначается через Ch/G.
Прежде всего нужно доказывать, что
1. комплексы морфизмов в Ch/G имеют когомологии, сосредоточенные в неотрицательных когомологических степенях, и
2. конструкция инвариантна относительно квази-эквивалентностей DG-категорий Ch с действием G.
А также
3. Ch/{e} квази-эквивалентна Ch, и
4. (Ch/H)/(G/H) квази-эквивалентна Ch/G.
В целом же замах, конечно, на то, чтобы конструкция переводила DG-категорию мотивов над алгебраическим расширением L поля K с группой Галуа G в DG-категорию мотивов над K.
Пусть Ch (от слова Чжоу) -- DG-категория, в которой все комплексы морфизмов сосредоточены в неположительных когомологических степенях. Предположим, что на Ch (дискретно) действует (проконечная) группа G (что это значит, еще надо разбираться отдельно, но будем надеяться, что разумный смысл этому можно придать).
Будем рассматривать то, что Б. и К. когда-то прозвали "скрученными комплексами" над Ch -- конечные формальные прямые суммы формальных когомологических сдвигов объектов из Ch, снабженные коцепями Маурера-Картана, скручивающими дифференциал на прямой сумме. В силу условия на Ch, все такие скрученные комплексы должны быть "односторонними" и, более того, на них есть естественные "глупые фильтрации" (насколько я понимаю).
Будем рассматривать такие скрученные комплексы, снабженные действием G. Хотелось бы организовать из таких скрученных комплексов точную DG-категорию, в которой морфизмы -- комплексы морфизмов скрученных комплексов, коммутирующих с действием G. А точная структура такая: точная тройка G-эквивариантных скрученных комплексов -- это, во-первых, расщепимая точная тройка в аддитивно-сдвиговой оболочке Ch. При этом G-эквивариантного расщепления быть вовсе не должно (иначе неинтересно), но требуется существование G-эквивариантных расщеплений на присоединенных факторах нашей тройки по глупой фильтрации.
У полученной точной DG-категории строится абсолютная производная категория, у которой есть также DG-модель (по Др.). В этой DG-модели сидит полная DG-подкатегория, состоящая из G-эквивариантных скрученных комплексов, подлежащие скрученные комплексы которых суть просто прямые суммы объектов из Ch (без сдвигов). Эта DG-подкатегория называется (в надежде, что конструкция правильная) результатом "мотивного" или "весового" спуска исходной DG-категории Ch с действием групы G и обозначается через Ch/G.
Прежде всего нужно доказывать, что
1. комплексы морфизмов в Ch/G имеют когомологии, сосредоточенные в неотрицательных когомологических степенях, и
2. конструкция инвариантна относительно квази-эквивалентностей DG-категорий Ch с действием G.
А также
3. Ch/{e} квази-эквивалентна Ch, и
4. (Ch/H)/(G/H) квази-эквивалентна Ch/G.
В целом же замах, конечно, на то, чтобы конструкция переводила DG-категорию мотивов над алгебраическим расширением L поля K с группой Галуа G в DG-категорию мотивов над K.
Вот чего недостает в моей статье про Артин-Тейтовские мотивные пучки.
Пусть есть многообразие X и натуральное число m, для них соответствующая точная категория FXm. Если m делится на n, то из FXm в FXn действует естественный функтор редукции коэффициентов, переводящий фильтрованный этальный пучок M в пучок M/nM = (m/n)M с индуцированной фильтрацией.
Пусть теперь m = m'm'', и пусть M, N -- два объекта FXm. Как насчет длинной точной последовательности
... → ExtFXm'i(M/m'M, N/m'N) → ExtFXmi(M, N) → ExtFXm''i(M/m''M, N/m''N) → ExtFXm'i+1(M/m'M, N/m'N) → ... ?
Зачем это мне нужно: если немножко подумать, то в формулировке "K(π,1)-гипотеза для мотивов Артина-Тейта над полем K эквивалентна подходящей гипотезе кошулевости, если K содержит нужный корень из единицы" последнее условие все-таки лишнее. Оно у меня живет как рудимент эпохи, когда рассматривались прежде всего тейтовские, а не артин-тейновские мотивы.
Вернее, если под "мотивами Артина" понимаются мотивы полей, промежуточных между K и фиксированным L, то корень из единицы должен содержаться в L, но не обязательно в K. В ситуации же с категорией FXm для X = Spec K, в роли L у нас алгебраическое замыкание K, так что условие тривиализуется.
Но верно это в той мере, в которой циклотомическое представление группы Галуа поля K является прямым слагаемым перестановочного. Т.е. только в случае, когда порядок коэффициентов m -- простое число. Поэтому интерпретировать в терминах кошулевости K(π,1)-гипотезу для мотивов Артина-Тейта над полем K c непростыми коэффициентами Z/m в отсутствие в K корня из единицы напрямую все же нельзя, а нужно сначала свести ее к случаю простых делителей m, а потом уже можно интерпретировать.
И вот для этого сведения мне пригодилась бы длинная точная последовательность выше.
Пусть есть многообразие X и натуральное число m, для них соответствующая точная категория FXm. Если m делится на n, то из FXm в FXn действует естественный функтор редукции коэффициентов, переводящий фильтрованный этальный пучок M в пучок M/nM = (m/n)M с индуцированной фильтрацией.
Пусть теперь m = m'm'', и пусть M, N -- два объекта FXm. Как насчет длинной точной последовательности
... → ExtFXm'i(M/m'M, N/m'N) → ExtFXmi(M, N) → ExtFXm''i(M/m''M, N/m''N) → ExtFXm'i+1(M/m'M, N/m'N) → ... ?
Зачем это мне нужно: если немножко подумать, то в формулировке "K(π,1)-гипотеза для мотивов Артина-Тейта над полем K эквивалентна подходящей гипотезе кошулевости, если K содержит нужный корень из единицы" последнее условие все-таки лишнее. Оно у меня живет как рудимент эпохи, когда рассматривались прежде всего тейтовские, а не артин-тейновские мотивы.
Вернее, если под "мотивами Артина" понимаются мотивы полей, промежуточных между K и фиксированным L, то корень из единицы должен содержаться в L, но не обязательно в K. В ситуации же с категорией FXm для X = Spec K, в роли L у нас алгебраическое замыкание K, так что условие тривиализуется.
Но верно это в той мере, в которой циклотомическое представление группы Галуа поля K является прямым слагаемым перестановочного. Т.е. только в случае, когда порядок коэффициентов m -- простое число. Поэтому интерпретировать в терминах кошулевости K(π,1)-гипотезу для мотивов Артина-Тейта над полем K c непростыми коэффициентами Z/m в отсутствие в K корня из единицы напрямую все же нельзя, а нужно сначала свести ее к случаю простых делителей m, а потом уже можно интерпретировать.
И вот для этого сведения мне пригодилась бы длинная точная последовательность выше.