Алгебраическая геометрия в России больше

Как известно, слова типа "еврей", "русский" и т.д. (обозначения национальностей) имеют совершенно разный смысл в зависимости от языка, страны, контекста и т.д. Аналогичная вещь приключилась, как я погляжу, с обозначениями разделов наук.

В частности, словосочетание "алгебраическая геометрия" в современном российском научно-административном контексте, означает, похоже, примерно, как мог бы сказать человек, побывавший за границей, "то, чем занимаются математики в Гарварде и Принстоне". То есть просто всю современную высокоабстрактную неприкладную математику. Включая теорию представлений, любую хоть сколько-нибудь алгебраическую теорию чисел, всю алгебру кроме сибирско-уральской и ей подобной, дифференциальную, симплектическую и комплексно-аналитическую геометрию, теорию категорий, математические аспекты квантовой теории поля и что-то там еще.

Таким образом, скажем, моя книжка по полубесконечной гомологической алгебре теперь относится к "алгебраической геометрии" (хотя алгебраические многоообразия или что-либо в этом роде там упоминаются в основном в коротеньком последнем приложении F).

Сам я, оказавшись таким образом классифицирован по ведомству алгебраической геометрии, постепенно замечаю, как сдвигаюсь в сторону занятия вещами, имеющими отношение к вполне настоящей алгебраической геометрии (скорее чем теории представлений и проч.) Хотелось бы думать, что связи между этими двумя явлениями нет...

Некоммутативная лемма Артина-Риса

K. Goodearl, R. Warfield, An introduction to noncommutative Noetherian rings. Cambridge University Press, 2004.

Theorem 13.3 [Artin, Rees]. If R is a noetherian ring and I an ideal of R generated by central elements, then R(I) is noetherian, and hence I satisfies the AR property.

Proof. The noetherian assumption ensures that I can be generated by finitely many central elements, say a₁, ..., a_n. Then R(I) is generated (as a ring) by R together with the central elements a₁x, ..., a_nx. Consequently, R(I) is a homomorphic image of a polynomial ring R[x₁,...,x_n], and hence it is noetherian by the Hilbert Basis Theorem.

... Как-то я даже не осознавал, что между термином "кольцо Риса" и леммой Артина-Риса есть такая простая прямая связь. Позабыл все, чему учился на первом курсе (когда читал Атью-Макдональда), видимо.

Когерентные CDG-модули, открытая подсхема, замкнутое дополнение - 2

Продолжение постинга http://posic.livejournal.com/665530.html (который я начал писать днем в четверг, а закончил только сегодня вечером, сохраняя под глазом черновые варианты, поскольку все время вылезали неожиданные проблемы, решения которых обсуждались в последующих постингах). Сохраняются обозначения и предположения постинга по ссылке.

Теорема. а) функтор ограничения на открытую подсхему D^co(B-qcoh) → D^co(B|_U-qcoh) является функтором локализации Вердье по толстой подкатегории D^co(B-qcoh_T).
б) Функтор ограничения на открытую подсхему D^abs(B-coh) → D^abs(B|_U-coh) является функтором локализации Вердье по триангулированной подкатегории D^abs(B-coh_T). В частности, ядро этого функтора ограничения совпадает с толстой оболочкой этой триангулированной подкатегории.

Доказательство: чтобы доказать пункт а), рассмотрим функтор, сопряженный справа к функтору ограничения. Это будет производный функтор прямого образа с открытого вложения, который строится с помощью инъективных резольвент (см. лемму 1 из постинга по ссылке). Поскольку если применить сначала прямой образ, а потом ограничение, получится тождественный функтор, функтор ограничения является локализацией Вердье. Поскольку ядро и коядро морфизма сопряженности из инъективного CDG-модуля на X в прямой образ на X его ограничения на U имеют теоретико-множественный носитель в T, ядро нашего функтора локализации совпадает с D^co(B-qcoh_T). (NB: здесь мы опять воспользовались сохранением инъективности при ограничении квазикогерентных B-модулей на открытую подсхему.)

Существенная сюрьективность функтора ограничения в пункте б), очевидно, имеет место уже на уровне DG-категорий когерентных CDG-модулей (взять прямой образ на X когерентного CDG-модуля на U и выбрать в результате достаточно большой когерентный CDG-подмодуль). С учетом этого замечания, пункт б) следует пункта а) и стандартных общих результатов о компактно порожденных триангулированных категориях (см. лемму 2 из постинга по ссылке). Мы имеем компактно порожденную триангулированную категорию, и в ней триангулированную подкатегорию, порожденную некоторым множеством компактных образующих большой категории; в такой ситуации факторкатегория компактных объектов большой категории по компактным объектам подкатегории вполне строго отображается в компактные объекты факторкатегории (и всякий объект последней является прямым слагаемым объекта из образа этого функтора).

Таким образом, мы решили задачу, поставленную в постинге http://posic.livejournal.com/665106.html , для случая когерентных матричных факторизаций (и отчасти для когерентных CDG-модулей вообще). Как решать аналогичную задачу для локально свободных матричных факторизаций конечного ранга, по-прежнему непонятно. Является ли всякая локально свободная м.ф. конечного ранга, ограничение которой на дополнение к замкнутому подмножеству T абсолютно ациклично (= локально стягиваемо), прямым слагаемым, в абсолютной производной категории, когерентной м.ф. конечной плоской размерности, теоретико-множественный носитель которой содержится в T?