![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение постинга http://posic.livejournal.com/665530.html (который я начал писать днем в четверг, а закончил только сегодня вечером, сохраняя под глазом черновые варианты, поскольку все время вылезали неожиданные проблемы, решения которых обсуждались в последующих постингах). Сохраняются обозначения и предположения постинга по ссылке.
Теорема. а) функтор ограничения на открытую подсхему Dco(B-qcoh) → Dco(B|U-qcoh) является функтором локализации Вердье по толстой подкатегории Dco(B-qcohT).
б) Функтор ограничения на открытую подсхему Dabs(B-coh) → Dabs(B|U-coh) является функтором локализации Вердье по триангулированной подкатегории Dabs(B-cohT). В частности, ядро этого функтора ограничения совпадает с толстой оболочкой этой триангулированной подкатегории.
Доказательство: чтобы доказать пункт а), рассмотрим функтор, сопряженный справа к функтору ограничения. Это будет производный функтор прямого образа с открытого вложения, который строится с помощью инъективных резольвент (см. лемму 1 из постинга по ссылке). Поскольку если применить сначала прямой образ, а потом ограничение, получится тождественный функтор, функтор ограничения является локализацией Вердье. Поскольку ядро и коядро морфизма сопряженности из инъективного CDG-модуля на X в прямой образ на X его ограничения на U имеют теоретико-множественный носитель в T, ядро нашего функтора локализации совпадает с Dco(B-qcohT). (NB: здесь мы опять воспользовались сохранением инъективности при ограничении квазикогерентных B-модулей на открытую подсхему.)
Существенная сюрьективность функтора ограничения в пункте б), очевидно, имеет место уже на уровне DG-категорий когерентных CDG-модулей (взять прямой образ на X когерентного CDG-модуля на U и выбрать в результате достаточно большой когерентный CDG-подмодуль). С учетом этого замечания, пункт б) следует пункта а) и стандартных общих результатов о компактно порожденных триангулированных категориях (см. лемму 2 из постинга по ссылке). Мы имеем компактно порожденную триангулированную категорию, и в ней триангулированную подкатегорию, порожденную некоторым множеством компактных образующих большой категории; в такой ситуации факторкатегория компактных объектов большой категории по компактным объектам подкатегории вполне строго отображается в компактные объекты факторкатегории (и всякий объект последней является прямым слагаемым объекта из образа этого функтора).
Таким образом, мы решили задачу, поставленную в постинге http://posic.livejournal.com/665106.html , для случая когерентных матричных факторизаций (и отчасти для когерентных CDG-модулей вообще). Как решать аналогичную задачу для локально свободных матричных факторизаций конечного ранга, по-прежнему непонятно. Является ли всякая локально свободная м.ф. конечного ранга, ограничение которой на дополнение к замкнутому подмножеству T абсолютно ациклично (= локально стягиваемо), прямым слагаемым, в абсолютной производной категории, когерентной м.ф. конечной плоской размерности, теоретико-множественный носитель которой содержится в T?
Теорема. а) функтор ограничения на открытую подсхему Dco(B-qcoh) → Dco(B|U-qcoh) является функтором локализации Вердье по толстой подкатегории Dco(B-qcohT).
б) Функтор ограничения на открытую подсхему Dabs(B-coh) → Dabs(B|U-coh) является функтором локализации Вердье по триангулированной подкатегории Dabs(B-cohT). В частности, ядро этого функтора ограничения совпадает с толстой оболочкой этой триангулированной подкатегории.
Доказательство: чтобы доказать пункт а), рассмотрим функтор, сопряженный справа к функтору ограничения. Это будет производный функтор прямого образа с открытого вложения, который строится с помощью инъективных резольвент (см. лемму 1 из постинга по ссылке). Поскольку если применить сначала прямой образ, а потом ограничение, получится тождественный функтор, функтор ограничения является локализацией Вердье. Поскольку ядро и коядро морфизма сопряженности из инъективного CDG-модуля на X в прямой образ на X его ограничения на U имеют теоретико-множественный носитель в T, ядро нашего функтора локализации совпадает с Dco(B-qcohT). (NB: здесь мы опять воспользовались сохранением инъективности при ограничении квазикогерентных B-модулей на открытую подсхему.)
Существенная сюрьективность функтора ограничения в пункте б), очевидно, имеет место уже на уровне DG-категорий когерентных CDG-модулей (взять прямой образ на X когерентного CDG-модуля на U и выбрать в результате достаточно большой когерентный CDG-подмодуль). С учетом этого замечания, пункт б) следует пункта а) и стандартных общих результатов о компактно порожденных триангулированных категориях (см. лемму 2 из постинга по ссылке). Мы имеем компактно порожденную триангулированную категорию, и в ней триангулированную подкатегорию, порожденную некоторым множеством компактных образующих большой категории; в такой ситуации факторкатегория компактных объектов большой категории по компактным объектам подкатегории вполне строго отображается в компактные объекты факторкатегории (и всякий объект последней является прямым слагаемым объекта из образа этого функтора).
Таким образом, мы решили задачу, поставленную в постинге http://posic.livejournal.com/665106.html , для случая когерентных матричных факторизаций (и отчасти для когерентных CDG-модулей вообще). Как решать аналогичную задачу для локально свободных матричных факторизаций конечного ранга, по-прежнему непонятно. Является ли всякая локально свободная м.ф. конечного ранга, ограничение которой на дополнение к замкнутому подмножеству T абсолютно ациклично (= локально стягиваемо), прямым слагаемым, в абсолютной производной категории, когерентной м.ф. конечной плоской размерности, теоретико-множественный носитель которой содержится в T?
