К основаниям теории DG-модулей над комплексом де Рама

Как известно (см. мою статью 0905.2621, Appendix B), копроизводная категория DG-модулей над комплексом де Рама на гладком многообразии эквивалентна производной категории D-модулей на нем. Хотелось бы построить для DG-модулей науку, параллельную науке о D-модулях, имея в виду эту эквивалентность, но не пользуясь ею. Это подразумевает необходимость строить разнообразные производные функторы на копроизводной категории DG-модулей, для чего нужны разнообразные резольвенты.

При этом корректное определение производных функторов требует не только существования резольвент, но и их единственности с точностью до подходящих отношений эквивалентности на резольвентах. Под данным заголовком предполагается серия постингов с формулировками и набросками доказательств утверждений о существовании и единственности резольвент разных типов для объектов копроизводной категории DG-модулей. Основная идея, стоящая за всеми этими конструкциями, будет состоять в том, что вместо алгебры дифференциальных форм следует мыслить себе кокольцо поливекторных полей над кольцом функций, и дальше работать с комодулями над этим кокольцом обычными средствами, развитыми в моей книжке 0708.3398 (рекомендуется пользоваться окончательной книжной версией, а не архивным препринтом с этим номером).

Утверждение, сформулированное в первом абзаце, имеет естественные обобщения в разных направлениях; например, можно заменить векторные поля на (локально свободный конечного ранга над пучком функций) алгеброид Ли, или рассматривать дифференциальные операторы, действующие в сечениях расслоения, или заменить основное поле на (регулярную конечной размерности Крулля) базовую схему, и рассматривать относительные дифференциальные операторы и формы на схеме, гладкой над этой базовой схемой. Если сделаны предположения в скобках, все эти ситуации не будут ничем отличаться от частного случая DG-алгебры де Рама на гладком многообразии над полем.

В любой из вышеописанных ситуаций, можно рассматривать следующие классы резольвент для DG-модулей над DG-алгеброй Ω. Все эти классы резольвент определяются условиями, наложенными на подлежащие градуированные Ω-модули (они же градуированные комодули над двойственным кокольцом поливекторных полей P над пучком функций O) DG-модулей над Ω.

1. Ω-инъективные модули;
2. O-инъективные Ω-модули;
3. модули, (ко)индуцированные с O на Ω;
4. локально O-свободные Ω-модули;
5. локально Ω-свободные модули.

В последующих постингах предполагается рассмотреть случаи 1-5 один за другим.

Резольвенты для DG-модулей над комплексом де Рама - 1

Теорема: копроизводная категория DG-модулей над Ω эквивалентна гомотопической категории DG-модулей над Ω, подлежащие градуированные Ω-модули которых являются инъективными градуированными Ω-модулями.

Доказательство: это утверждение верно для любой нетеровой квазикогерентной CDG-алгебры над нетеровой отделимой схемой. Существование таких резольвент устанавливается конструкцией из доказательства теоремы 3.7 (откуда идет ссылка на доказательство теоремы 3.6) из 0905.2621; единственность с точностью до гомотопической эквивалентности (не зависящая даже от нетеровости) следует из полуортогональности -- это теорема 3.5(a) из той же работы.

(Для конструкции важно существование достаточного числа инъективных объектов в категории квазикогерентных градуированных Ω-модулей; в общей ситуации с квазикогерентной алгеброй это следует, например, из теоремы Гротендика о существовании инъективных объектов в Ab5-категории с множеством образующих; в ситуации с когерентной алгеброй Ω, можно использовать Ω-модули, коиндуцированные с квазикогерентных инъективных O-модулей.)

Резольвенты для DG-модулей над комплексом де Рама - 2

Теорема: копроизводная категория DG-модулей над Ω эквивалентна копроизводной категории O-инъективных DG-модулей над Ω (т.е., DG-модулей, подлежащие градуированные O-модули которых имеют инъективные компоненты).

Доказательство. Существование таких резольвент следует из существования Ω-инъективных резольвент и того, что всякий инъективный градуированный Ω-модуль является инъективным градуированным O-модулем (поскольку Ω -- плоский O-модуль). Утверждение, что отношение эквивалентности на таких резольвентах есть в самом деле коацикличность по отношению к классу O-инъективных DG-модулей, аналогично "легкому случаю" (т.е. пунктам (b) и (с)) теоремы 7.2.2 из 0708.3398.

Проще всего рассуждать так. Гомотопическая категория Ω-инъективных DG-модулей отображается в копроизводную категорию O-инъективных DG-модулей, а последняя -- в копроизводную категорию всех DG-модулей. Мы уже знаем, что композиция этих двух функторов есть эквивалентность категорий. Чтобы показать, что второй функтор является эквивалентностью, достаточно показать, что эквивалентностью является первый функтор.

Для этого достаточно построить всякому O-инъективному DG-модулю правую резольвенту в точной категории O-инъективных DG-модулей, члены которой были бы Ω-инъективными модулями (а дальше рассуждать как в доказательстве теоремы 3.7 из 0905.2621). Это делается с помощью обычной конструкции резольвент с помощью коиндукции градуированных модулей с O на Ω и взятия косвободно копорожденного DG-модуля. Фактормодули в этой конструкции будут O-инъективны, поскольку вообще коядра вложений инъективных модулей инъективны.

Резольвенты для DG-модулей над комплексом де Рама - 3

Теорема: копроизводная категория DG-модулей над Ω эквивалентна факторкатегории гомотопической категории DG-модулей, подлежащие градуированные Ω-модули которых коиндуцированы с O-модулей, по ее минимальной триангулированной подкатегории, содержащей тотальные DG-модули точных троек DG-модулей, подлежащие точные тройки градуированных Ω-модулей у которых коиндуцированы с точных троек градуированных O-модулей.

Доказательство: существование таких резольвент следует из более сильного утверждения о существовании Ω-инъективных резольвент. Трудной частью теоремы является описание отношения эквивалентности на коиндуцированных резольвентах. Такое утверждение можно найти в доказательстве теоремы B.3 из 0905.2621, но за подробностями следует обращаться к доказательству теоремы 5.5 из 0708.3398. Для справедливости этого утверждения в такой форме критически важно, что категория квазикогерентных O-модулей имеет конечную гомологическую размерность; без этого предположения придется замыкать описанную в теореме минимальную триангулированную подкатегорию относительно бесконечных прямых сумм.

Рассуждение это устроено так. Утверждается, что гомотопическая категория коиндуцированных (в смысле, у которых подлежащие градуированные Ω-модули коиндуцированы с O) DG-модулей имеет полуортогональное разложение, состоящее из гомотопической категории Ω-инъективных DG-модулей и минимальной триангулированной подкатегории, входящей в формулировку теоремы. Поскольку все коацикличные DG-модули ортогональны к Ω-инъективным, после этого остается только воспользоваться леммой 1.6(b) из 0905.2621.

Чтобы получить полуортогональное разложение, надо построить каждому коиндуцированному DG-модулю конечную правую резольвенту, члены которой суть Ω-инъективные DG-модули, а точные тройки, из которых составлен этот комплекс, как точные тройки Ω-модулей коиндуцированы с O. Каждый шаг в конструкции этой резольвенты устроен так. Градуированный O-модуль вкладывается в инъективный; со всего этого коиндуцируется градуированный Ω-модуль. Вторым Ω-модулем косвободно копорождается DG-модуль; как градуированный Ω-модуль, он разваливается в прямую сумму двух коиндуцированных с инъективных (именно в силу этой инъективности). Исходный коиндуцированный DG-модуль отображается в этот косвободно копорожденный DG-модуль. Проекция этого отображения на одно из слагаемых, как отображение градуированных Ω-модулей, коиндуцирована с вложения градуированных O-модулей. Унипотентный автоморфизм прямой суммы двух инъективных градуированных Ω-модулей убивает вторую компоненту этого отображения (опять же в силу инъективности).

Резольвенты для DG-модулей над комплексом де Рама - 4

Теорема: копроизводная категория DG-модулей над Ω эквивалентна копроизводной категории O-плоских (а также локально O-свободных возможно бесконечного ранга) DG-модулей. Абсолютная производная категория когерентных DG-модулей над Ω эквивалентна абсолютной производной категории локально O-свободных когерентных DG-модулей.

Доказательство: существование таких резольвент легко устанавливается с помощью конструкции левых резольвент из 0905.2621, доказательство теоремы 3.6. Здесь важно, что Ω сама является плоской (локально свободной) градуированной O-алгеброй и что категория (квази)когерентных пучков O-модулей имеет конечную плоскую (локально проективную) размерность. Доказательство единственности (с точностью до естественной эквивалентности, как сформулировано) таких резольвент -- самое трудное в этой серии результатов. Оно следует в русле доказательства теоремы 7.2.2 из 0708.3398; см. также теорему 3.2 из 1010.0982 и теорему из раздела 1 статьи 1102.0261. Я не буду здесь выписывать этот аргумент; проще всего прочитать доказательство в 1102.0261 (пройдя, где нужно, по ссылкам в 1010.0982) и убедиться, что в интересующей нас здесь ситуации оно работает точно так же. Важным ингредиентом является доказательство леммы C из 1102.0261, более деликатное, чем соответствующие аналоги в предшествовавших текстах.

Разница между двумя ситуациями только в том, что в 1102.0261 рассматривается то, что в наших обозначениях называлось бы Ω-плоскими или локально Ω-свободными модулями, меж тем как здесь нас интересуют O-плоские или локально О-свободные модули (в теореме из 1102.0261 предполагается конечность плоской/локально проективной размерности над Ω, вместо чего у нас здесь имеет место конечность такой размерности над O). Насколько я могу сейчас видеть, аргумент из 1102.0261 сохраняет силу в интересующей нас здесь ситуации. Задача про модули, плоские над базовым кольцом (подобно тому, как у нас здесь) рассматривалась в первоначальном тексте 0708.3398.

Альтернативное доказательство последнего утверждения теоремы (про абсолютную производную категорию) можно найти в 1102.0261, доказательство предложения из раздела 1.