![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicТеорема: копроизводная категория DG-модулей над Ω эквивалентна факторкатегории гомотопической категории DG-модулей, подлежащие градуированные Ω-модули которых коиндуцированы с O-модулей, по ее минимальной триангулированной подкатегории, содержащей тотальные DG-модули точных троек DG-модулей, подлежащие точные тройки градуированных Ω-модулей у которых коиндуцированы с точных троек градуированных O-модулей.
Доказательство: существование таких резольвент следует из более сильного утверждения о существовании Ω-инъективных резольвент. Трудной частью теоремы является описание отношения эквивалентности на коиндуцированных резольвентах. Такое утверждение можно найти в доказательстве теоремы B.3 из 0905.2621, но за подробностями следует обращаться к доказательству теоремы 5.5 из 0708.3398. Для справедливости этого утверждения в такой форме критически важно, что категория квазикогерентных O-модулей имеет конечную гомологическую размерность; без этого предположения придется замыкать описанную в теореме минимальную триангулированную подкатегорию относительно бесконечных прямых сумм.
Рассуждение это устроено так. Утверждается, что гомотопическая категория коиндуцированных (в смысле, у которых подлежащие градуированные Ω-модули коиндуцированы с O) DG-модулей имеет полуортогональное разложение, состоящее из гомотопической категории Ω-инъективных DG-модулей и минимальной триангулированной подкатегории, входящей в формулировку теоремы. Поскольку все коацикличные DG-модули ортогональны к Ω-инъективным, после этого остается только воспользоваться леммой 1.6(b) из 0905.2621.
Чтобы получить полуортогональное разложение, надо построить каждому коиндуцированному DG-модулю конечную правую резольвенту, члены которой суть Ω-инъективные DG-модули, а точные тройки, из которых составлен этот комплекс, как точные тройки Ω-модулей коиндуцированы с O. Каждый шаг в конструкции этой резольвенты устроен так. Градуированный O-модуль вкладывается в инъективный; со всего этого коиндуцируется градуированный Ω-модуль. Вторым Ω-модулем косвободно копорождается DG-модуль; как градуированный Ω-модуль, он разваливается в прямую сумму двух коиндуцированных с инъективных (именно в силу этой инъективности). Исходный коиндуцированный DG-модуль отображается в этот косвободно копорожденный DG-модуль. Проекция этого отображения на одно из слагаемых, как отображение градуированных Ω-модулей, коиндуцирована с вложения градуированных O-модулей. Унипотентный автоморфизм прямой суммы двух инъективных градуированных Ω-модулей убивает вторую компоненту этого отображения (опять же в силу инъективности).
Доказательство: существование таких резольвент следует из более сильного утверждения о существовании Ω-инъективных резольвент. Трудной частью теоремы является описание отношения эквивалентности на коиндуцированных резольвентах. Такое утверждение можно найти в доказательстве теоремы B.3 из 0905.2621, но за подробностями следует обращаться к доказательству теоремы 5.5 из 0708.3398. Для справедливости этого утверждения в такой форме критически важно, что категория квазикогерентных O-модулей имеет конечную гомологическую размерность; без этого предположения придется замыкать описанную в теореме минимальную триангулированную подкатегорию относительно бесконечных прямых сумм.
Рассуждение это устроено так. Утверждается, что гомотопическая категория коиндуцированных (в смысле, у которых подлежащие градуированные Ω-модули коиндуцированы с O) DG-модулей имеет полуортогональное разложение, состоящее из гомотопической категории Ω-инъективных DG-модулей и минимальной триангулированной подкатегории, входящей в формулировку теоремы. Поскольку все коацикличные DG-модули ортогональны к Ω-инъективным, после этого остается только воспользоваться леммой 1.6(b) из 0905.2621.
Чтобы получить полуортогональное разложение, надо построить каждому коиндуцированному DG-модулю конечную правую резольвенту, члены которой суть Ω-инъективные DG-модули, а точные тройки, из которых составлен этот комплекс, как точные тройки Ω-модулей коиндуцированы с O. Каждый шаг в конструкции этой резольвенты устроен так. Градуированный O-модуль вкладывается в инъективный; со всего этого коиндуцируется градуированный Ω-модуль. Вторым Ω-модулем косвободно копорождается DG-модуль; как градуированный Ω-модуль, он разваливается в прямую сумму двух коиндуцированных с инъективных (именно в силу этой инъективности). Исходный коиндуцированный DG-модуль отображается в этот косвободно копорожденный DG-модуль. Проекция этого отображения на одно из слагаемых, как отображение градуированных Ω-модулей, коиндуцирована с вложения градуированных O-модулей. Унипотентный автоморфизм прямой суммы двух инъективных градуированных Ω-модулей убивает вторую компоненту этого отображения (опять же в силу инъективности).
