![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicКак известно (см. мою статью 0905.2621, Appendix B), копроизводная категория DG-модулей над комплексом де Рама на гладком многообразии эквивалентна производной категории D-модулей на нем. Хотелось бы построить для DG-модулей науку, параллельную науке о D-модулях, имея в виду эту эквивалентность, но не пользуясь ею. Это подразумевает необходимость строить разнообразные производные функторы на копроизводной категории DG-модулей, для чего нужны разнообразные резольвенты.
При этом корректное определение производных функторов требует не только существования резольвент, но и их единственности с точностью до подходящих отношений эквивалентности на резольвентах. Под данным заголовком предполагается серия постингов с формулировками и набросками доказательств утверждений о существовании и единственности резольвент разных типов для объектов копроизводной категории DG-модулей. Основная идея, стоящая за всеми этими конструкциями, будет состоять в том, что вместо алгебры дифференциальных форм следует мыслить себе кокольцо поливекторных полей над кольцом функций, и дальше работать с комодулями над этим кокольцом обычными средствами, развитыми в моей книжке 0708.3398 (рекомендуется пользоваться окончательной книжной версией, а не архивным препринтом с этим номером).
Утверждение, сформулированное в первом абзаце, имеет естественные обобщения в разных направлениях; например, можно заменить векторные поля на (локально свободный конечного ранга над пучком функций) алгеброид Ли, или рассматривать дифференциальные операторы, действующие в сечениях расслоения, или заменить основное поле на (регулярную конечной размерности Крулля) базовую схему, и рассматривать относительные дифференциальные операторы и формы на схеме, гладкой над этой базовой схемой. Если сделаны предположения в скобках, все эти ситуации не будут ничем отличаться от частного случая DG-алгебры де Рама на гладком многообразии над полем.
В любой из вышеописанных ситуаций, можно рассматривать следующие классы резольвент для DG-модулей над DG-алгеброй Ω. Все эти классы резольвент определяются условиями, наложенными на подлежащие градуированные Ω-модули (они же градуированные комодули над двойственным кокольцом поливекторных полей P над пучком функций O) DG-модулей над Ω.
1. Ω-инъективные модули;
2. O-инъективные Ω-модули;
3. модули, (ко)индуцированные с O на Ω;
4. локально O-свободные Ω-модули;
5. локально Ω-свободные модули.
В последующих постингах предполагается рассмотреть случаи 1-5 один за другим.
При этом корректное определение производных функторов требует не только существования резольвент, но и их единственности с точностью до подходящих отношений эквивалентности на резольвентах. Под данным заголовком предполагается серия постингов с формулировками и набросками доказательств утверждений о существовании и единственности резольвент разных типов для объектов копроизводной категории DG-модулей. Основная идея, стоящая за всеми этими конструкциями, будет состоять в том, что вместо алгебры дифференциальных форм следует мыслить себе кокольцо поливекторных полей над кольцом функций, и дальше работать с комодулями над этим кокольцом обычными средствами, развитыми в моей книжке 0708.3398 (рекомендуется пользоваться окончательной книжной версией, а не архивным препринтом с этим номером).
Утверждение, сформулированное в первом абзаце, имеет естественные обобщения в разных направлениях; например, можно заменить векторные поля на (локально свободный конечного ранга над пучком функций) алгеброид Ли, или рассматривать дифференциальные операторы, действующие в сечениях расслоения, или заменить основное поле на (регулярную конечной размерности Крулля) базовую схему, и рассматривать относительные дифференциальные операторы и формы на схеме, гладкой над этой базовой схемой. Если сделаны предположения в скобках, все эти ситуации не будут ничем отличаться от частного случая DG-алгебры де Рама на гладком многообразии над полем.
В любой из вышеописанных ситуаций, можно рассматривать следующие классы резольвент для DG-модулей над DG-алгеброй Ω. Все эти классы резольвент определяются условиями, наложенными на подлежащие градуированные Ω-модули (они же градуированные комодули над двойственным кокольцом поливекторных полей P над пучком функций O) DG-модулей над Ω.
1. Ω-инъективные модули;
2. O-инъективные Ω-модули;
3. модули, (ко)индуцированные с O на Ω;
4. локально O-свободные Ω-модули;
5. локально Ω-свободные модули.
В последующих постингах предполагается рассмотреть случаи 1-5 один за другим.
