![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicТеорема: копроизводная категория DG-модулей над Ω эквивалентна копроизводной категории O-инъективных DG-модулей над Ω (т.е., DG-модулей, подлежащие градуированные O-модули которых имеют инъективные компоненты).
Доказательство. Существование таких резольвент следует из существования Ω-инъективных резольвент и того, что всякий инъективный градуированный Ω-модуль является инъективным градуированным O-модулем (поскольку Ω -- плоский O-модуль). Утверждение, что отношение эквивалентности на таких резольвентах есть в самом деле коацикличность по отношению к классу O-инъективных DG-модулей, аналогично "легкому случаю" (т.е. пунктам (b) и (с)) теоремы 7.2.2 из 0708.3398.
Проще всего рассуждать так. Гомотопическая категория Ω-инъективных DG-модулей отображается в копроизводную категорию O-инъективных DG-модулей, а последняя -- в копроизводную категорию всех DG-модулей. Мы уже знаем, что композиция этих двух функторов есть эквивалентность категорий. Чтобы показать, что второй функтор является эквивалентностью, достаточно показать, что эквивалентностью является первый функтор.
Для этого достаточно построить всякому O-инъективному DG-модулю правую резольвенту в точной категории O-инъективных DG-модулей, члены которой были бы Ω-инъективными модулями (а дальше рассуждать как в доказательстве теоремы 3.7 из 0905.2621). Это делается с помощью обычной конструкции резольвент с помощью коиндукции градуированных модулей с O на Ω и взятия косвободно копорожденного DG-модуля. Фактормодули в этой конструкции будут O-инъективны, поскольку вообще коядра вложений инъективных модулей инъективны.
Доказательство. Существование таких резольвент следует из существования Ω-инъективных резольвент и того, что всякий инъективный градуированный Ω-модуль является инъективным градуированным O-модулем (поскольку Ω -- плоский O-модуль). Утверждение, что отношение эквивалентности на таких резольвентах есть в самом деле коацикличность по отношению к классу O-инъективных DG-модулей, аналогично "легкому случаю" (т.е. пунктам (b) и (с)) теоремы 7.2.2 из 0708.3398.
Проще всего рассуждать так. Гомотопическая категория Ω-инъективных DG-модулей отображается в копроизводную категорию O-инъективных DG-модулей, а последняя -- в копроизводную категорию всех DG-модулей. Мы уже знаем, что композиция этих двух функторов есть эквивалентность категорий. Чтобы показать, что второй функтор является эквивалентностью, достаточно показать, что эквивалентностью является первый функтор.
Для этого достаточно построить всякому O-инъективному DG-модулю правую резольвенту в точной категории O-инъективных DG-модулей, члены которой были бы Ω-инъективными модулями (а дальше рассуждать как в доказательстве теоремы 3.7 из 0905.2621). Это делается с помощью обычной конструкции резольвент с помощью коиндукции градуированных модулей с O на Ω и взятия косвободно копорожденного DG-модуля. Фактормодули в этой конструкции будут O-инъективны, поскольку вообще коядра вложений инъективных модулей инъективны.
