![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicТеорема: копроизводная категория DG-модулей над Ω эквивалентна копроизводной категории O-плоских (а также локально O-свободных возможно бесконечного ранга) DG-модулей. Абсолютная производная категория когерентных DG-модулей над Ω эквивалентна абсолютной производной категории локально O-свободных когерентных DG-модулей.
Доказательство: существование таких резольвент легко устанавливается с помощью конструкции левых резольвент из 0905.2621, доказательство теоремы 3.6. Здесь важно, что Ω сама является плоской (локально свободной) градуированной O-алгеброй и что категория (квази)когерентных пучков O-модулей имеет конечную плоскую (локально проективную) размерность. Доказательство единственности (с точностью до естественной эквивалентности, как сформулировано) таких резольвент -- самое трудное в этой серии результатов. Оно следует в русле доказательства теоремы 7.2.2 из 0708.3398; см. также теорему 3.2 из 1010.0982 и теорему из раздела 1 статьи 1102.0261. Я не буду здесь выписывать этот аргумент; проще всего прочитать доказательство в 1102.0261 (пройдя, где нужно, по ссылкам в 1010.0982) и убедиться, что в интересующей нас здесь ситуации оно работает точно так же. Важным ингредиентом является доказательство леммы C из 1102.0261, более деликатное, чем соответствующие аналоги в предшествовавших текстах.
Разница между двумя ситуациями только в том, что в 1102.0261 рассматривается то, что в наших обозначениях называлось бы Ω-плоскими или локально Ω-свободными модулями, меж тем как здесь нас интересуют O-плоские или локально О-свободные модули (в теореме из 1102.0261 предполагается конечность плоской/локально проективной размерности над Ω, вместо чего у нас здесь имеет место конечность такой размерности над O). Насколько я могу сейчас видеть, аргумент из 1102.0261 сохраняет силу в интересующей нас здесь ситуации. Задача про модули, плоские над базовым кольцом (подобно тому, как у нас здесь) рассматривалась в первоначальном тексте 0708.3398.
Альтернативное доказательство последнего утверждения теоремы (про абсолютную производную категорию) можно найти в 1102.0261, доказательство предложения из раздела 1.
Доказательство: существование таких резольвент легко устанавливается с помощью конструкции левых резольвент из 0905.2621, доказательство теоремы 3.6. Здесь важно, что Ω сама является плоской (локально свободной) градуированной O-алгеброй и что категория (квази)когерентных пучков O-модулей имеет конечную плоскую (локально проективную) размерность. Доказательство единственности (с точностью до естественной эквивалентности, как сформулировано) таких резольвент -- самое трудное в этой серии результатов. Оно следует в русле доказательства теоремы 7.2.2 из 0708.3398; см. также теорему 3.2 из 1010.0982 и теорему из раздела 1 статьи 1102.0261. Я не буду здесь выписывать этот аргумент; проще всего прочитать доказательство в 1102.0261 (пройдя, где нужно, по ссылкам в 1010.0982) и убедиться, что в интересующей нас здесь ситуации оно работает точно так же. Важным ингредиентом является доказательство леммы C из 1102.0261, более деликатное, чем соответствующие аналоги в предшествовавших текстах.
Разница между двумя ситуациями только в том, что в 1102.0261 рассматривается то, что в наших обозначениях называлось бы Ω-плоскими или локально Ω-свободными модулями, меж тем как здесь нас интересуют O-плоские или локально О-свободные модули (в теореме из 1102.0261 предполагается конечность плоской/локально проективной размерности над Ω, вместо чего у нас здесь имеет место конечность такой размерности над O). Насколько я могу сейчас видеть, аргумент из 1102.0261 сохраняет силу в интересующей нас здесь ситуации. Задача про модули, плоские над базовым кольцом (подобно тому, как у нас здесь) рассматривалась в первоначальном тексте 0708.3398.
Альтернативное доказательство последнего утверждения теоремы (про абсолютную производную категорию) можно найти в 1102.0261, доказательство предложения из раздела 1.
