Мотивы Артина-Тейта с конечными коэффициентами. План

I. Присоединенная градуированная категория
1. Конструкция прис. град. кат-ии [как локализации-факторизации категории бифильтрованных объектов] [а бифильтрованные объекты в терминах фильтрованных объектов суть просто диаграммы U <- V <- U(-1) <- V(-1), такие что последовательность присоединенных факторов расщепимо точна]
2. Структура точной категории на п.г.к. [та же техника расслоенных (ко)произведений, что в предыдущем пункте]
3. Конструкция дифференциала в точной последовательности [Ext_G*(gr-,gr-) как левый или правый модуль над Ext_F*(-,-) индуцирован с Hom_G(gr-,gr-) как модуля над Hom_F(-,-)]
4. Проверка точности этой последовательности [достаточно проверять фрагмент, составленный из Ext⁰ и Ext¹]

II. Кошулевость для градуированной категории
1. Квадратичность диагональных Ext'ов
2. Конструкция точной категории по диагональным Ext'ам
3. Конструкция спуска базы
4. Общий (абсолютный) случай
5. Плоский случай

III. Триангулированный функтор реализации и категории фильтрованных объектов [вспомнить]

IV. Что значит все же эта кошулевость для простого циклического расширения полей? Что значит в этом случае квадратичность, хотя бы? Или порожденность первой компонентой? [В одну сторону, там должна вытекать теорема Гильберта 90 для милноровских K-групп как по модулю l, так и с целыми коэффициентами (хоть эти Гильберты-90 и выглядят по-разному -- потому что для K₁ они выглядят по-разному), как мне помнится. В другую сторону, нужно рассмотреть интересующую алгебру как модуль над милноровской алгеброй базового поля по модулю l, так ее кошулевость и будет вытекать из знакомых гипотез.]

См. также http://posic.livejournal.com/359900.html (подзамок)

+ Если E -- точная категория и F -- точная категория фильтрованных объектов из E с точными тройками, расщепимыми на присоединенных факторах по фильтрации, то Ext'ы в F между сдвигами объектов из Е, рассматриваемых как сосредоточенные в каком-то одном куске фильтрации, описываются формулами, как в гипотезе Б.-Л. Другими словами, "большое кольцо" Ext'ов между всеми объектами любой (малой) точной категории кошулево.

Неконильпотентная кошулева двойственность, обобщенная (с подачи А.П.)

Пусть (C,d,h) -- CDG-коалгебра над полем k, снабженная конечной убывающей фильтрацией F, C/F¹C = k, F^tC = 0 для некоторого (достаточно большого) натурального t. Фильтрация F должна быть комультипликативной, дифференциал d должен ее сохранять, и, кажется, нужно, чтобы функционал кривизны h аннулировал F²C. Пусть w: k -> C -- однородное k-линейное сечение коединицы, и пусть Cob_w(C) -- соответствующая структура CDG-алгебры на свободной алгебре, порожденной (C/k)[-1]. Рассмотрим неотрицательно градуированную коалгебру gr_FC в градуировке, индуцированной фильтрацией F; предположим, что эта коалгебра кошулева и обозначим через B квадратично двойственную алгебру. Тогда B можно рассматривать как факторалгебру Cob_wC; на ней индуцируется структура CDG-алгебры.

Отметим, что алгебра B имеет конечную гомологическую размерность как биградуированная алгебра. Надо как-то проверить, что она имеет конечную гомологическую размерность также и как градуированная алгебра в одной только гомологической градуировке. (Почему кошулевы алгебры конечной гомологической размерности имеют конечную гомологическую размерность как неградуированные алгебры? Можно случай свободной алгебры рассмотреть для начала.)

Утверждается, что копроизводная = контрапроизводная = абсолютная производная категория CDG-модулей над B эквивалентна копроизводной категории CDG-комодулей над C и контрапроизводной категории CDG-контрамодулей над C. Доказательство должно быть такое же, как у теоремы неконильпотентной кошулевой двойственности из нынешней версии статьи (в которую надо бы эвентуально вставить это обобщение).

Более того, можно описать подкатегории компактных объектов с обеих сторон этой эквивалентности. Компактные объекты категории CDG-комодулей над С суть просто конечномерные CDG-комодули (или, может быть, их идемпотентное замыкание); это мы знаем. Представим абсолютную производную категорию B-модулей как гомотопическую категорию CDG-модулей, проективных, если забыть дифференциал. Там внутри есть подкатегория CDG-модулей, проективных и конечно-порожденных, если забыть дифференциал (точнее, опять же лучше взять ее карубиеву оболочку). Очевидно, что эта подкатегория состоит из компактных объектов; с другой стороны, компактным объектам копроизводной категории CDG-комодулей над C отвечают объекты из этой подкатегории CDG-модулей над B. Таким образом, 1. идемпотентные замыкания абсолютной производной категории конечномерных CDG-комодулей и гомотопической категории конечно-порожденных проективных CDG-модулей эквивалентны; и 2. гомотопическая категория конечно-порожденных проективных CDG-модулей порождает гомотопическую категорию всех проективных CDG-модулей с помощью прямых сумм и конусов.

Наряду с DG-алгебрами, для которых полная производная категория совпадает с производной категорией (например, неположительно или очень строго неотрицательно градуированными DG-алгебрами, или кофибрантными DG-алгебрами) описанная выше ситуация находится в ряду первых примеров ситуаций, когда известно, что полная производная категория CDG-алгебры порождается CDG-модулями, конечно-порожденными и проективными как градуированные модули, с помощью прямых сумм и конусов.

P.S. Хорошо бы обобщить конструкцию выше, ослабив условия на d и h -- так чтобы d выбивался из фильтрации F на единичку, а h аннулировал только F³С. Чтобы алгебра B была не градуированной в неотрицательной градуировке, а фильтрованной -- неоднородной кошулевой.