![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicI. Присоединенная градуированная категория
1. Конструкция прис. град. кат-ии [как локализации-факторизации категории бифильтрованных объектов] [а бифильтрованные объекты в терминах фильтрованных объектов суть просто диаграммы U <- V <- U(-1) <- V(-1), такие что последовательность присоединенных факторов расщепимо точна]
2. Структура точной категории на п.г.к. [та же техника расслоенных (ко)произведений, что в предыдущем пункте]
3. Конструкция дифференциала в точной последовательности [ExtG*(gr-,gr-) как левый или правый модуль над ExtF*(-,-) индуцирован с HomG(gr-,gr-) как модуля над HomF(-,-)]
4. Проверка точности этой последовательности [достаточно проверять фрагмент, составленный из Ext0 и Ext1]
II. Кошулевость для градуированной категории
1. Квадратичность диагональных Ext'ов
2. Конструкция точной категории по диагональным Ext'ам
3. Конструкция спуска базы
4. Общий (абсолютный) случай
5. Плоский случай
III. Триангулированный функтор реализации и категории фильтрованных объектов [вспомнить]
IV. Что значит все же эта кошулевость для простого циклического расширения полей? Что значит в этом случае квадратичность, хотя бы? Или порожденность первой компонентой? [В одну сторону, там должна вытекать теорема Гильберта 90 для милноровских K-групп как по модулю l, так и с целыми коэффициентами (хоть эти Гильберты-90 и выглядят по-разному -- потому что для K1 они выглядят по-разному), как мне помнится. В другую сторону, нужно рассмотреть интересующую алгебру как модуль над милноровской алгеброй базового поля по модулю l, так ее кошулевость и будет вытекать из знакомых гипотез.]
См. также http://posic.livejournal.com/359900.html (подзамок)
+ Если E -- точная категория и F -- точная категория фильтрованных объектов из E с точными тройками, расщепимыми на присоединенных факторах по фильтрации, то Ext'ы в F между сдвигами объектов из Е, рассматриваемых как сосредоточенные в каком-то одном куске фильтрации, описываются формулами, как в гипотезе Б.-Л. Другими словами, "большое кольцо" Ext'ов между всеми объектами любой (малой) точной категории кошулево.
1. Конструкция прис. град. кат-ии [как локализации-факторизации категории бифильтрованных объектов] [а бифильтрованные объекты в терминах фильтрованных объектов суть просто диаграммы U <- V <- U(-1) <- V(-1), такие что последовательность присоединенных факторов расщепимо точна]
2. Структура точной категории на п.г.к. [та же техника расслоенных (ко)произведений, что в предыдущем пункте]
3. Конструкция дифференциала в точной последовательности [ExtG*(gr-,gr-) как левый или правый модуль над ExtF*(-,-) индуцирован с HomG(gr-,gr-) как модуля над HomF(-,-)]
4. Проверка точности этой последовательности [достаточно проверять фрагмент, составленный из Ext0 и Ext1]
II. Кошулевость для градуированной категории
1. Квадратичность диагональных Ext'ов
2. Конструкция точной категории по диагональным Ext'ам
3. Конструкция спуска базы
4. Общий (абсолютный) случай
5. Плоский случай
III. Триангулированный функтор реализации и категории фильтрованных объектов [вспомнить]
IV. Что значит все же эта кошулевость для простого циклического расширения полей? Что значит в этом случае квадратичность, хотя бы? Или порожденность первой компонентой? [В одну сторону, там должна вытекать теорема Гильберта 90 для милноровских K-групп как по модулю l, так и с целыми коэффициентами (хоть эти Гильберты-90 и выглядят по-разному -- потому что для K1 они выглядят по-разному), как мне помнится. В другую сторону, нужно рассмотреть интересующую алгебру как модуль над милноровской алгеброй базового поля по модулю l, так ее кошулевость и будет вытекать из знакомых гипотез.]
См. также http://posic.livejournal.com/359900.html (подзамок)
+ Если E -- точная категория и F -- точная категория фильтрованных объектов из E с точными тройками, расщепимыми на присоединенных факторах по фильтрации, то Ext'ы в F между сдвигами объектов из Е, рассматриваемых как сосредоточенные в каком-то одном куске фильтрации, описываются формулами, как в гипотезе Б.-Л. Другими словами, "большое кольцо" Ext'ов между всеми объектами любой (малой) точной категории кошулево.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2010-02-27 11:33 am (UTC)no subject
Date: 2010-02-27 01:26 pm (UTC)2. Описать производные категории смешанных мотивов Артина-Тейта с конечными коэффициентами в терминах абсолютной группы Галуа поля
3. Напридумывать гипотез про абсолютную группу Галуа произвольного поля
Для мотивов Тейта задача решена и ее решение успешно служит всем трем целям
no subject
Date: 2010-02-27 02:34 pm (UTC)http://arxiv.org/abs/math/0601713
Правда, что с этим делать потом - непонятно.:) И априрори неясно, что данная триангулированная категория является чьей-то производной; возможно, тут Ваши методы как раз актуальны.
no subject
Date: 2010-02-27 05:53 pm (UTC)Формально, в 2. целью является формулировка и исследование K(π,1)-гипотезы для мотивов Артина-Тейта с конечными коэффициентами. Реально, речь идет о том, что триангулированная категория таких мотивов должна быть производной категорией точной категории фильтрованных модулей над абсолютной группой Галуа, таких что все присоединенные факторы -- перестановочные представления.
no subject
Date: 2010-02-27 06:25 pm (UTC)K(π,1)-гипотезы - это хорошо.:) А вот последняя Ваша фраза вызывает сомнения.:)
no subject
Date: 2010-02-27 06:35 pm (UTC)Какова природа сих сомнений?
no subject
Date: 2010-02-27 06:37 pm (UTC)Вы как-то очень просто все описываете - там посложнее д.б.:)
no subject
Date: 2010-02-27 06:52 pm (UTC)Теперь у вас есть триангулированная категория и в ней внутри порождающая ее точная категория. Это такое обобщение ситуации с (ограниченной) t-структурой, со случая абелевой подкатегории на случай точной подкатегории. Как изложено в статье Саши про производные категории превратных пучков, в такой ситуации должен быть функтор из производной категории от точной категории в триангулированную категорию (у Саши абелева подкатегория, конечно, но будем надеяться, что это обобщается). Там нужно использовать, что у нас триангулированная категория алгебраического происхождения.
Наконец, вопрос в том, почему этот функтор сравнения -- эквивалентность категорий. Это вопрос о том, является ли изоморфизмом естественное отображение из Ext'ов по Ионеде в точной категории в Hom(X,Y[n]) в триангулированной категории. Это и есть вопрос о K(π,1)-гипотезе. В данном случае, он упирается в кошулевость. То есть, чтобы получить сформулированный ответ для мотивов Тейта, скажем, нужно предполагать кошулевость алгебры Милнора поля по модулю l (если поле содержит корень l-й степени из единицы).
no subject
Date: 2010-02-27 06:02 pm (UTC)no subject
Date: 2010-02-27 06:36 pm (UTC)Об этом подробно:) написано здесь http://arxiv.org/abs/0704.4003
Про разницу подходов можно посмотреть в конце этой статьи - или в пункте 9.1
http://arxiv.org/abs/0903.0091
no subject
Date: 2010-02-27 07:47 pm (UTC)