![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть (C,d,h) -- CDG-коалгебра над полем k, снабженная конечной убывающей фильтрацией F, C/F1C = k, FtC = 0 для некоторого (достаточно большого) натурального t. Фильтрация F должна быть комультипликативной, дифференциал d должен ее сохранять, и, кажется, нужно, чтобы функционал кривизны h аннулировал F2C. Пусть w: k -> C -- однородное k-линейное сечение коединицы, и пусть Cobw(C) -- соответствующая структура CDG-алгебры на свободной алгебре, порожденной (C/k)[-1]. Рассмотрим неотрицательно градуированную коалгебру grFC в градуировке, индуцированной фильтрацией F; предположим, что эта коалгебра кошулева и обозначим через B квадратично двойственную алгебру. Тогда B можно рассматривать как факторалгебру CobwC; на ней индуцируется структура CDG-алгебры.
Отметим, что алгебра B имеет конечную гомологическую размерность как биградуированная алгебра. Надо как-то проверить, что она имеет конечную гомологическую размерность также и как градуированная алгебра в одной только гомологической градуировке. (Почему кошулевы алгебры конечной гомологической размерности имеют конечную гомологическую размерность как неградуированные алгебры? Можно случай свободной алгебры рассмотреть для начала.)
Утверждается, что копроизводная = контрапроизводная = абсолютная производная категория CDG-модулей над B эквивалентна копроизводной категории CDG-комодулей над C и контрапроизводной категории CDG-контрамодулей над C. Доказательство должно быть такое же, как у теоремы неконильпотентной кошулевой двойственности из нынешней версии статьи (в которую надо бы эвентуально вставить это обобщение).
Более того, можно описать подкатегории компактных объектов с обеих сторон этой эквивалентности. Компактные объекты категории CDG-комодулей над С суть просто конечномерные CDG-комодули (или, может быть, их идемпотентное замыкание); это мы знаем. Представим абсолютную производную категорию B-модулей как гомотопическую категорию CDG-модулей, проективных, если забыть дифференциал. Там внутри есть подкатегория CDG-модулей, проективных и конечно-порожденных, если забыть дифференциал (точнее, опять же лучше взять ее карубиеву оболочку). Очевидно, что эта подкатегория состоит из компактных объектов; с другой стороны, компактным объектам копроизводной категории CDG-комодулей над C отвечают объекты из этой подкатегории CDG-модулей над B. Таким образом, 1. идемпотентные замыкания абсолютной производной категории конечномерных CDG-комодулей и гомотопической категории конечно-порожденных проективных CDG-модулей эквивалентны; и 2. гомотопическая категория конечно-порожденных проективных CDG-модулей порождает гомотопическую категорию всех проективных CDG-модулей с помощью прямых сумм и конусов.
Наряду с DG-алгебрами, для которых полная производная категория совпадает с производной категорией (например, неположительно или очень строго неотрицательно градуированными DG-алгебрами, или кофибрантными DG-алгебрами) описанная выше ситуация находится в ряду первых примеров ситуаций, когда известно, что полная производная категория CDG-алгебры порождается CDG-модулями, конечно-порожденными и проективными как градуированные модули, с помощью прямых сумм и конусов.
P.S. Хорошо бы обобщить конструкцию выше, ослабив условия на d и h -- так чтобы d выбивался из фильтрации F на единичку, а h аннулировал только F3С. Чтобы алгебра B была не градуированной в неотрицательной градуировке, а фильтрованной -- неоднородной кошулевой.
Отметим, что алгебра B имеет конечную гомологическую размерность как биградуированная алгебра. Надо как-то проверить, что она имеет конечную гомологическую размерность также и как градуированная алгебра в одной только гомологической градуировке. (Почему кошулевы алгебры конечной гомологической размерности имеют конечную гомологическую размерность как неградуированные алгебры? Можно случай свободной алгебры рассмотреть для начала.)
Утверждается, что копроизводная = контрапроизводная = абсолютная производная категория CDG-модулей над B эквивалентна копроизводной категории CDG-комодулей над C и контрапроизводной категории CDG-контрамодулей над C. Доказательство должно быть такое же, как у теоремы неконильпотентной кошулевой двойственности из нынешней версии статьи (в которую надо бы эвентуально вставить это обобщение).
Более того, можно описать подкатегории компактных объектов с обеих сторон этой эквивалентности. Компактные объекты категории CDG-комодулей над С суть просто конечномерные CDG-комодули (или, может быть, их идемпотентное замыкание); это мы знаем. Представим абсолютную производную категорию B-модулей как гомотопическую категорию CDG-модулей, проективных, если забыть дифференциал. Там внутри есть подкатегория CDG-модулей, проективных и конечно-порожденных, если забыть дифференциал (точнее, опять же лучше взять ее карубиеву оболочку). Очевидно, что эта подкатегория состоит из компактных объектов; с другой стороны, компактным объектам копроизводной категории CDG-комодулей над C отвечают объекты из этой подкатегории CDG-модулей над B. Таким образом, 1. идемпотентные замыкания абсолютной производной категории конечномерных CDG-комодулей и гомотопической категории конечно-порожденных проективных CDG-модулей эквивалентны; и 2. гомотопическая категория конечно-порожденных проективных CDG-модулей порождает гомотопическую категорию всех проективных CDG-модулей с помощью прямых сумм и конусов.
Наряду с DG-алгебрами, для которых полная производная категория совпадает с производной категорией (например, неположительно или очень строго неотрицательно градуированными DG-алгебрами, или кофибрантными DG-алгебрами) описанная выше ситуация находится в ряду первых примеров ситуаций, когда известно, что полная производная категория CDG-алгебры порождается CDG-модулями, конечно-порожденными и проективными как градуированные модули, с помощью прямых сумм и конусов.
P.S. Хорошо бы обобщить конструкцию выше, ослабив условия на d и h -- так чтобы d выбивался из фильтрации F на единичку, а h аннулировал только F3С. Чтобы алгебра B была не градуированной в неотрицательной градуировке, а фильтрованной -- неоднородной кошулевой.
