Алгебра и топология

Любимый предмет размышлений детей с интересом к математике в младше-среднем школьном возрасте: почему сложение и умножение коммутативно, а возведение в степень нет? Позже обнаруживается, что это распространенная ситуация прогрессивного ухудшения свойств алгебраических операций при итерировании конструкции: ср. комплексные числа — кватернионы — октавы.

Вот парадокс для более старших: почему свойства некоммутативных когомологий с возрастанием размерности ухудшаются (H⁰ — группа, H¹ — множество, H² и дальнейших не существует), а свойства гомотопических групп улучшаются (π₀ — множество, π₁ — группа, π₂ и дальнейшие — абелевы группы)?

Третьи когомологии

Когомологии группы/алгебры Ли с постоянными коэффициентами:

нулевые — эндоморфизмы тождественного функтора на категории представлений
первые — автоморфизмы категории представлений
вторые — деформации категории представлений (категории не-совсем-представлений)
третьи — ?

Если так на это смотреть, то единственное, что приходит в голову поставить на место "?" — это "не-совсем-категории представлений (деформации категории представлений в подходящем классе уже-не-категорий)". Вопрос, конечно, классический, но ответа, выраженного в таких категорных терминах я не встечал.