2/3-бесконечные когомологии?

На сегодняшний день мы умеем определять полубесконечные (ко)гомологии в ситуации алгебры в категории бикомодулей над коалгеброй в категории бимодулей над кольцом конечной гомологической размерности. Попытки избавиться от последнего условия упираются в непреодолимые, по видимости, технические трудности. К чему можно было бы прийти, если бы эти трудности удалось победить?

В полубесконечной ситуации правильным объектом в роли базы представляются не схемы, а инд-схемы, они же инд-про-схемы инд-про-конечного типа. Хорошая инд-схема — это индуктивный предел схем по системе замкнутых вложений. Если такая индуктивная система состоит из аффинных схем, то кольцо функций на инд-схеме можно считать топологическим кольцом, в котором идеалы образуют базу окрестностей нуля. Что такое алгебры над коалгебрами над такими кольцами? ( Read more... )

Группы p-адических петель - начало

Почитал статьи Д.Г.-Д.К. про представления групп точек над двумерными локальными полями. Из того, что там делается, для меня интерес представляет конструкция функтора полутензорного произведения (который они не вполне правильно называют полуинвариантами).

Предварительные соображения: пусть Γ — локально компактная вполне несвязная топологическая группа. Гладкой мерой на Γ называется мера, равная произведению меры Хаара на локально-постоянную функцию. Гладкие меры с компактным носителем на Γ образуют алгебру M(Γ) над полем рациональных чисел относительно операции свертки мер. Aлгебра M(Γ) действует усреднениями на любом гладком Γ-модуле над Q. Как объект, предназначенный для описания гладких Γ-модулей с рациональными коэффициентами, алгебра M(Γ) имеет два критических недостатка:
- M(Γ)-модулей больше, чем гладких Γ-модулей; и
- алгебра M(Γ) не имеет единицы.

Эти недостатки отчасти компенсируются следующими достоинствами:
- алгебра M(Γ) сама является гладким левым и правым Γ-модулем;
- тензорное произведение двух гладких Γ-модулей как M(Γ)-модулей совпадает с Γ-коинвариантами их тензорного произведения как векторных пространств;
- M(Γ) является единичным объектом тензорной категории гладких Γ×Γ-модулей относительно операции тензорного произведения над M(Γ).
В то же время, будучи алгеброй без единицы, M(Γ) не является единичным объектом тензорной категории произвольных бимодулей над собой (достаточно рассмотреть M(Γ)-модуль непрерывных комплексно-значных или L¹-функций на Γ).