Группы p-адических петель - начало
Aug. 3rd, 2007 11:44 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПочитал статьи Д.Г.-Д.К. про представления групп точек над двумерными локальными полями. Из того, что там делается, для меня интерес представляет конструкция функтора полутензорного произведения (который они не вполне правильно называют полуинвариантами).
Предварительные соображения: пусть Γ — локально компактная вполне несвязная топологическая группа. Гладкой мерой на Γ называется мера, равная произведению меры Хаара на локально-постоянную функцию. Гладкие меры с компактным носителем на Γ образуют алгебру M(Γ) над полем рациональных чисел относительно операции свертки мер. Aлгебра M(Γ) действует усреднениями на любом гладком Γ-модуле над Q. Как объект, предназначенный для описания гладких Γ-модулей с рациональными коэффициентами, алгебра M(Γ) имеет два критических недостатка:
- M(Γ)-модулей больше, чем гладких Γ-модулей; и
- алгебра M(Γ) не имеет единицы.
Эти недостатки отчасти компенсируются следующими достоинствами:
- алгебра M(Γ) сама является гладким левым и правым Γ-модулем;
- тензорное произведение двух гладких Γ-модулей как M(Γ)-модулей совпадает с Γ-коинвариантами их тензорного произведения как векторных пространств;
- M(Γ) является единичным объектом тензорной категории гладких Γ×Γ-модулей относительно операции тензорного произведения над M(Γ).
В то же время, будучи алгеброй без единицы, M(Γ) не является единичным объектом тензорной категории произвольных бимодулей над собой (достаточно рассмотреть M(Γ)-модуль непрерывных комплексно-значных или L1-функций на Γ).
Предварительные соображения: пусть Γ — локально компактная вполне несвязная топологическая группа. Гладкой мерой на Γ называется мера, равная произведению меры Хаара на локально-постоянную функцию. Гладкие меры с компактным носителем на Γ образуют алгебру M(Γ) над полем рациональных чисел относительно операции свертки мер. Aлгебра M(Γ) действует усреднениями на любом гладком Γ-модуле над Q. Как объект, предназначенный для описания гладких Γ-модулей с рациональными коэффициентами, алгебра M(Γ) имеет два критических недостатка:
- M(Γ)-модулей больше, чем гладких Γ-модулей; и
- алгебра M(Γ) не имеет единицы.
Эти недостатки отчасти компенсируются следующими достоинствами:
- алгебра M(Γ) сама является гладким левым и правым Γ-модулем;
- тензорное произведение двух гладких Γ-модулей как M(Γ)-модулей совпадает с Γ-коинвариантами их тензорного произведения как векторных пространств;
- M(Γ) является единичным объектом тензорной категории гладких Γ×Γ-модулей относительно операции тензорного произведения над M(Γ).
В то же время, будучи алгеброй без единицы, M(Γ) не является единичным объектом тензорной категории произвольных бимодулей над собой (достаточно рассмотреть M(Γ)-модуль непрерывных комплексно-значных или L1-функций на Γ).
