2/3-бесконечные когомологии?
Aug. 3rd, 2007 11:40 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНа сегодняшний день мы умеем определять полубесконечные (ко)гомологии в ситуации алгебры в категории бикомодулей над коалгеброй в категории бимодулей над кольцом конечной гомологической размерности. Попытки избавиться от последнего условия упираются в непреодолимые, по видимости, технические трудности. К чему можно было бы прийти, если бы эти трудности удалось победить?
В полубесконечной ситуации правильным объектом в роли базы представляются не схемы, а инд-схемы, они же инд-про-схемы инд-про-конечного типа. Хорошая инд-схема — это индуктивный предел схем по системе замкнутых вложений. Если такая индуктивная система состоит из аффинных схем, то кольцо функций на инд-схеме можно считать топологическим кольцом, в котором идеалы образуют базу окрестностей нуля. Что такое алгебры над коалгебрами над такими кольцами?
Ввиду этой конструкции, возникает идея рассмотривать биконтрамодули над топологическим кольцом A. Однако, определить тензорное произведение биконтрамодулей мне пока не удалось. Вот как это происходит: если А и B — топологические кольца, то A-B-биконтрамодулем естественно было бы называть левый контрамодуль над топологическим кольцом A⊗!Bop = limproj A/I⊗Bop/Jop, где предел берется по всем открытым двусторонним идеалам I⊂A и J⊂B, а тензорное произведение — над фиксированным базовым коммутативным кольцом k, топология которого не имеет значения. Будем обозначать через A[X]B свободный A⊗!Bop-контрамодуль, порожденный множеством X; это обозначение оправдывается изоморфизмом A[X×Y]B = A[X]⊗![Y]B. Кажется естественным положить или A[X]B⊗BB[Y]C = A[X]B[Y]C = A⊗!B⊗!C [X×Y], или A[X]B⊗BB[Y]C = A[X]B^[Y]C = (A⊗!Сop)⊗^B [X×Y] (т.е., считать топологию на В тривиальной при построении правой части равенства во втором случае). В втором случае возникают проблемы с функториальностью, во первом — с ассоциативностью. Проблем не возникает в случае проконечномерной топологической алгебры, когда два определения совпадают. Можно ли определить ассоциативное тензорное произведение хотя бы для дифференциальных (= сосредоточенных на диагонали) биконтрамодулей над коммутативным топологическим кольцом?
В то же время, не би-, а обыкновенные контрамодули над коммутативным топологическим кольцом A образуют ассоциативную тензорную категорию. Кроме того, категория, противоположная к категории дискретных A-модулей ("A-комодулей") является модульной категорией над этой тензорной категорией относительно функтора Hom_A(P,M) = limindI HomA/I(P/I,IM), где индуктивный предел берется по всем открытым идеалам в A, в правой части равенства Hom берется в категории обыкновенных дискретных модулей над дискретным кольцом A/I, а IM обозначает максимальный подмодуль M, аннулируемый I. Таким образом, можно рассматривать коалгебры и комодули над ними в категории A-контрамодулей, алгебры в категории бикомодулей над такой коалгеброй и модули над ними в категории комодулей над такой коалгеброй. А также контрамодули в категории дискретных A-модулей ("A-комодулей") над коалгеброй в категории A-контрамодулей и контрамодули в категории контрамодулей в категории дискретных A-модулей над алгеброй в категории бикомодулей над коалгеброй в категории A-контрамодулей.
В полубесконечной ситуации правильным объектом в роли базы представляются не схемы, а инд-схемы, они же инд-про-схемы инд-про-конечного типа. Хорошая инд-схема — это индуктивный предел схем по системе замкнутых вложений. Если такая индуктивная система состоит из аффинных схем, то кольцо функций на инд-схеме можно считать топологическим кольцом, в котором идеалы образуют базу окрестностей нуля. Что такое алгебры над коалгебрами над такими кольцами?
Ввиду этой конструкции, возникает идея рассмотривать биконтрамодули над топологическим кольцом A. Однако, определить тензорное произведение биконтрамодулей мне пока не удалось. Вот как это происходит: если А и B — топологические кольца, то A-B-биконтрамодулем естественно было бы называть левый контрамодуль над топологическим кольцом A⊗!Bop = limproj A/I⊗Bop/Jop, где предел берется по всем открытым двусторонним идеалам I⊂A и J⊂B, а тензорное произведение — над фиксированным базовым коммутативным кольцом k, топология которого не имеет значения. Будем обозначать через A[X]B свободный A⊗!Bop-контрамодуль, порожденный множеством X; это обозначение оправдывается изоморфизмом A[X×Y]B = A[X]⊗![Y]B. Кажется естественным положить или A[X]B⊗BB[Y]C = A[X]B[Y]C = A⊗!B⊗!C [X×Y], или A[X]B⊗BB[Y]C = A[X]B^[Y]C = (A⊗!Сop)⊗^B [X×Y] (т.е., считать топологию на В тривиальной при построении правой части равенства во втором случае). В втором случае возникают проблемы с функториальностью, во первом — с ассоциативностью. Проблем не возникает в случае проконечномерной топологической алгебры, когда два определения совпадают. Можно ли определить ассоциативное тензорное произведение хотя бы для дифференциальных (= сосредоточенных на диагонали) биконтрамодулей над коммутативным топологическим кольцом?
В то же время, не би-, а обыкновенные контрамодули над коммутативным топологическим кольцом A образуют ассоциативную тензорную категорию. Кроме того, категория, противоположная к категории дискретных A-модулей ("A-комодулей") является модульной категорией над этой тензорной категорией относительно функтора Hom_A(P,M) = limindI HomA/I(P/I,IM), где индуктивный предел берется по всем открытым идеалам в A, в правой части равенства Hom берется в категории обыкновенных дискретных модулей над дискретным кольцом A/I, а IM обозначает максимальный подмодуль M, аннулируемый I. Таким образом, можно рассматривать коалгебры и комодули над ними в категории A-контрамодулей, алгебры в категории бикомодулей над такой коалгеброй и модули над ними в категории комодулей над такой коалгеброй. А также контрамодули в категории дискретных A-модулей ("A-комодулей") над коалгеброй в категории A-контрамодулей и контрамодули в категории контрамодулей в категории дискретных A-модулей над алгеброй в категории бикомодулей над коалгеброй в категории A-контрамодулей.
